1 緒論

坐標系統(tǒng)的選擇對一項工程來說是一項首先必須進行的工作，同時坐標系統(tǒng)選擇的適當與否關系到整個工程的質量問題，因此對坐標系統(tǒng)的研究是一項非常重要和必須的工作。

我國《規(guī)范》規(guī)定：所有國家的大地點均按高斯正形投影計算其在帶內的平面直角坐標……。在1：1萬和更大比例尺測圖的地區(qū)，還應加算其在帶內的直角坐標系。我們通常將這種控制點在帶或帶內的坐標系稱為國家統(tǒng)一坐標系統(tǒng)。

在實際應用中，國家統(tǒng)一坐標系統(tǒng)往往不能滿足工程建設的需要，所以必須針對不同的工程采用適合它的獨立坐標系統(tǒng)。

線路獨立坐標系的建立方法研究主要是研究線路工程中如何建立坐標系統(tǒng)而使其精度能滿足工程需要。由于線路測量的特點是跨度較長，當采用國家統(tǒng)一坐標系時往往會因為離開中央子午線較遠而使變形量超限，因此必須采用獨立坐標系統(tǒng)。

由于線路工程的不同，因此需采用的獨立坐標系統(tǒng)也不盡相同。所以針對不同的線路工程應采用不同的獨立坐標系統(tǒng)。當線路工程是南北走向時由于線路基本上位于中央子午線上,因此不必要對多個獨立坐標系統(tǒng)的轉換銜接問題進行研究。當線路工程是東西走向時由于線路跨度較長而往往需要建立多個獨立坐標系統(tǒng)，因此需要對多個獨立坐標系統(tǒng)的轉換銜接問題進行研究。

公路、鐵路、架空送電線路以及輸油管道等均屬于線型工程，它們的中線統(tǒng)稱線路。一條線路的勘測和設計工作，主要是根據(jù)國家的計劃與自然地理條件，確定線路經(jīng)濟合理的位置。為達此目的，必須進行反復地實踐和比較。

線路在勘測設計階段首先要進行控制測量工作，由于在線路控制測量過程中，每條線路所在測區(qū)的位置不同且距離不可能很短,有的可能跨越一個投影帶,二個投影帶甚至更多,所以,在線路控制測量中,投影長度變形很容易超限，這就需要我們采取一定的措施來使投影長度變形減弱，將投影長度變形控制在允許的范圍之內。最有效的方法就是建立與測區(qū)相適應的坐標系統(tǒng)。

坐標系統(tǒng)是所有測量工作的基礎，所有測量成果都是建立在其上的,因此坐標系統(tǒng)選擇的適當與否關系到整個工程的質量問題。對于線路工程而言，使投影長度變形控制在允許的精度范圍之內是建立獨立坐標系統(tǒng)主要解決的問題，因此，獨立坐標系統(tǒng)的建立主要是根據(jù)線路的長度和所在測區(qū)的不同而建立與本測區(qū)和本線路相適應的坐標系統(tǒng)，從而使其投影長度變形控制在允許范圍之內。

本文以線路控制測量為例，詳細論述了線路獨立坐標系統(tǒng)的建立方法。

2 高斯平面直角坐標系的建立

我們已經(jīng)知道，大地坐標系是以橢球面為基準面的坐標系，它可以用來確定地面點在橢球面上的位置，但是如果用于大比例尺測圖控制網(wǎng)以及工程控制網(wǎng)則不適應。因此通常是將橢球面上的元素，如大地坐標、長度、方向等轉化至平面上，采用平面直角坐標系進行計算，本章就高斯平面直角坐標系的建立及相關問題進行了討論。

2.1.1地球橢球的基本幾何參數(shù)

參考橢球 具有一定的幾何參數(shù)、定位及定向的用以代表某一地區(qū)大地水準面的地球橢球叫做參考橢球。地面上一切觀測元素都應歸算到參考橢球面上，并在該面上進行計算，它是大地測量計算的基準面，同時又是研究地球形狀和地圖投影的參考面。

有關元素如圖1

O為橢球中心；

 

 

 

 

 

 

NS為旋轉軸；

a為長半軸；

b為短半軸；

子午圈（或徑圈或子午橢圓）；

平行圈（或緯圈）；

赤道。

旋轉橢球的形狀和大小是由子午橢圓的五個基本幾何參數(shù)（元素） （圖1：橢球參數(shù)示意圖）

來決定的，即：

橢圓的長半軸： a

橢圓的短半軸： b

橢圓的扁率： (2-1)

橢圓的第一偏心率： (2-2)

橢圓的第二偏心率： (2-3)

其中：a、b稱為長度元素；

扁率反映了橢球體的扁平程度，如=0時，橢球變?yōu)榍蝮w；=1時，則為平面。

e和e^/是子午橢圓的焦點離開中心的距離與橢圓半徑之比，它們也反映了橢球體的扁平程度，偏心率越大，橢球愈扁。

五個參數(shù)中，若知道其中的兩個參數(shù)就可決定橢球的形狀和大小，但其中至少應已知一個長度元素（如a或b），人們習慣于用和表示橢球的形狀和大小，便于級數(shù)展開。引入下列符號：

(2-4)

式中B為大地緯度，c為極曲率半徑（極點處的子午線曲率半徑）。

兩個常用的輔助函數(shù)，W第一基本緯度函數(shù)，V第二基本緯度函數(shù)。

(2-5)

傳統(tǒng)大地測量利用天文大地測量和重力測量資料推求地球橢球的幾何參數(shù)，自1738年（法國）布格推算出第一個橢球參數(shù)以來，200多年間各國大地測量工作者根據(jù)某一國或某一地區(qū)的資料，求出了數(shù)目繁多，數(shù)值各異的橢球參數(shù)。由于衛(wèi)星大地測量的發(fā)展，使推求總地球橢球體參數(shù)成為可能，自1970年以后的橢球參數(shù)都采用了衛(wèi)星大地測量資料。長半經(jīng)變化于6378135m～6378145m之間，扁率分母變化于298.25～298.26之間，可見精度已很高。比較著名的有30個橢球參數(shù)，其中涉及我國的如表1示：

（表1：橢球參數(shù)表）

橢球參數(shù)	年代	長半徑m	扁率分母	采用國家、地區(qū)
海福特	1906	6378283	297.8	美、阿根廷、比利時、大洋洲
克拉索夫斯基	1940	6378245	298.3	蘇、東歐、中、朝鮮等
1975年大地坐標系	1975	6378140	298.257	1975年國際第三個推薦值
WGS-84	1984	6378137	298.25722	GPS定位系統(tǒng)

我國1954年北京坐標系應用的是克拉索夫斯基橢球參數(shù)，1980年西安坐標系應用的是1975年國際橢球參數(shù)，而GPS應用的是WGS-84系橢球參數(shù)。

2.1.2地球橢球參數(shù)間的相互關系

由(2-2)和(2-3)式得：

并得：

(2-6)

推得：

同理可得：

(2-8)

。

2.2.1高斯投影與高斯平面直角坐標

地球投影 所謂地球投影，簡略說來就是將橢球面各元素（包括坐標、方向和長度）按一定的數(shù)學法則投影到平面上。

(2-9)

式中L，B是橢球面上某點的大地坐標，而是該點投影后的平面(投影面)直角坐標。

式(2-9)表示了橢球面上一點同投影面上對應點之間坐標的解析關系，也叫做坐標投影公式。投影問題也就是建立橢球面元素與投影面相對應元素之間的解析關系式。投影的方法很多，如高斯投影、蘭勃脫投影等。我國采用高斯投影。

高斯投影又稱橫軸橢圓柱等角投影，是德國測量學家高斯于1825～1830年首先提出的。實際上，直到1912年，由德國另一位測量學家克呂格推導出實用的坐標投影公式后，這種投影才得到推廣，所以該投影又稱高斯-克呂格投影。想象有一橢圓柱面橫套

（圖2：橫軸橢圓柱等角投影示意圖）

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

在地球橢球體外面，并與某一條子午線（稱中央子午線或軸子午線）相切，橢圓柱的中心軸通過橢球體中心，然后用一定的投影方法將中央子午線兩側各一定經(jīng)差范圍內的地區(qū)投影到橢圓柱面上，再將此柱面展開即成為投影面。

我國規(guī)定按經(jīng)差和度進行投影分帶，大比例尺測圖和工程測量一般采用帶投影。特殊情況下工程測量控制網(wǎng)也可用帶或任意帶。

高斯投影帶自子午線起每隔經(jīng)差自西向東分帶，依次編號1,2,3,…。我國帶中央子午線的經(jīng)度，由起每隔而至，共計12帶，帶號用n表示，中央子午線的經(jīng)度用表示，則與n的關系為。

 

 

 

 

 

 

（圖3：高斯投影分帶示意圖）

高斯投影帶是自子午線每隔經(jīng)差自西向東分帶，它的中央子午線一部分同帶中央子午線重合，一部分同帶分界子午線重合，帶號用n^/表示，帶中央子午線用L表示，關系是：。

在投影面上，中央子午線和赤道的投影都是直線，并且以中央子午線和赤道的交點O作為坐標原點，以中央子午線的投影為縱坐標軸，以赤道的投影為橫坐標軸，這樣便形成了高斯平面直角坐標系。在我國坐標均為正，坐標的最大值（在赤道上）約為330KM。為避免出現(xiàn)負的橫坐標，可在橫坐標上加500KM。此外還應在坐標前面冠以帶號，這種坐標稱為國家統(tǒng)一坐標。如某點Y=19123456.789m，該點位于19帶內，其相對于中央子午線而言的橫坐標是：首先去掉帶號，再減去500KM，最后得y=-376543.211m。

由于分帶造成了邊界子午線兩側的控制點和地形圖處于不同的投影帶內，為了把各帶連成整體，一般規(guī)定各投影帶要有一定的重疊度，其中每一帶向東加寬，向西加寬，這樣在上述重疊范圍內，控制點將有兩套相鄰帶的坐標值，地形圖將有兩套公里格網(wǎng)，從而保證了邊緣地區(qū)控制點間的互相應用，也保證了地圖的拼接和使用。

由于高斯投影是正形投影，故保證了投影的角度不變性、圖形的相似性以及在某點各方向上長度比的同一性；由于采用了同樣法則的分帶投影，既限制了長度變形，又保證了在不同投影帶中采用相同的簡單公式和數(shù)表進行由于變形引起的各項改正的計算，且?guī)�與帶間的互相換算也能用相同的公式和方法進行。高斯投影這些優(yōu)點使它得到廣泛的推廣和具有國際性。

2.2.2高斯投影坐標正反算公式

2.2.2. 1高斯投影坐標正算公式： B, x,y

高斯投影必須滿足以下三個條件：

⑴中央子午線投影后為直線；⑵中央子午線投影后長度不變；⑶投影具有正形性質，即正形投影條件。

由第一條件知中央子午線東西兩側的投影必然對稱于中央子午線，即式中，x為的偶函數(shù)，y為的奇函數(shù)；，即，如展開為的級數(shù)，收斂。

（2-10）

式中是待定系數(shù)，它們都是緯度B的函數(shù)。

由第三個條件知：

分別對和q求偏導數(shù)并代入上式

(2-11)

上兩式兩邊相等，其必要充分條件是同次冪前的系數(shù)應相等，即

(2-12)

(2-12)是一種遞推公式，只要確定了就可依次確定其余各系數(shù)。

由第二條件知:位于中央子午線上的點，投影后的縱坐標x應等于投影前從赤道量至該點的子午線弧長X，即(2-10)式第一式中，當時有：

(2-13)

顧及(對于中央子午線)

得：

(2-14,15)

(2-16)

依次求得并代入(2-10)式，得到高斯投影正算公式

(2-17)

2.2.2. 2高斯投影坐標反算公式

x,y B,

投影方程：

(2-18)

高斯投影坐標反算公式推導要復雜些。

⑴由x求底點緯度(垂足緯度),對應的有底點處的等量緯度，求x,y與的關系式，仿照式有，

由于y和橢球半徑相比較小(1/16.37)，可將展開為y的冪級數(shù)；又由于是對稱投影，q必是y的偶函數(shù)，必是y的奇函數(shù)。

(2-19)

是待定系數(shù)，它們都是x的函數(shù).

由第三條件知：

，

， (2-20)

(2-19)式分別對x和y求偏導數(shù)并代入上式

上式相等必要充分條件，是同次冪y前的系數(shù)相等，

第二條件，當y=0時，點在中央子午線上，即x=X，對應的點稱為底點，其緯度為底點緯度，也就是x=X時的子午線弧長所對應的緯度，設所對應的等量緯度為。也就是在底點展開為y的冪級數(shù)。

由(2-19)1式

依次求得其它各系數(shù)

(2-21)

(2-21)1

…………

將代入(2-19)1式得

(2-22)1

(2-22)

將代入(2-19)2式得(2-23)2式。(最后表達式)

⑵求與的關系。

由式知：

(2-23)

(2-24)

按臺勞級數(shù)在展開

(2-25)

(2-25)

由 式可求出各階導數(shù)：

(2-26)

(2-27)1

(2-27)2

…………………

將式(2-22)1(2-22)(2-26)(2-27)入(2-25)并按y冪集合得高斯投影坐標反算公式(2-28)

(2-28)

歸納由求的基本思想：由點得到底點，將底點f作為過渡，也就是說將坐標原點o移到f點，先求關系式，再將關系式代入關系式得關系式，最后將坐標原點移回到o點,從而求得點。

 

 

 

 

 

 

 

2.2.2. 3高斯投影坐標正反算公式的幾何解釋：

（圖4：高斯投影坐標正反算公式的幾何解釋示意圖）

⑴當B=0時x=X=0，y則隨的變化而變化，這就是說，赤道投影

為一直線且為y軸。當=0時,則y=0,x=X,這就是說，中央子午線投影亦為直線，且為x軸，其長度與中央子午線長度相等。兩軸的交點為坐標原點。⑵當=常數(shù)時(經(jīng)線),隨著B值增加，x值增大，y值減小，這就告訴我們，經(jīng)線是凹向中央子午線的曲線，且收斂于兩極。又因，即當用-B代替B時，y值不變，而x值數(shù)值相等符號相反，這就說明赤道是投影的對稱軸。⑶當B=常數(shù)時(緯線)，隨著的增加，x值和y值都增大，這就是說，緯線是凸向赤道的曲線。又當用-代替時，x值不變，而y值數(shù)值相等符號相反，這就說明，中央子午線是投影對稱軸。由于滿足正形投影條件，所以經(jīng)線和緯線的投影是互相垂直的。⑷距中央子午線愈遠的子午線，投影后彎曲愈厲害，表明長度變形愈大。

2.2.3坐標的換帶計算

為了限制高斯投影長度變形，將橢球面按一定經(jīng)度的子午線劃分成不同的投影帶；或者為了抵償長度變形，選擇某一經(jīng)度的子午線作為測區(qū)的中央子午線。由于中央子午線的經(jīng)度不同，使得橢球面上統(tǒng)一的大地坐標系，變成了各自獨立的平面直角坐標系，就需要將一個投影帶的平面直角坐標系，換算成另外一個投影帶的平面直角坐標，稱為坐標換帶。

2.2.3. 1坐標換帶的方法

坐標換帶有直接換帶計算法和間接換帶計算法兩種。目前采用間接換帶計算法，因此下面僅就此方法作一介紹。

如將第一帶（東帶或西帶）的平面坐標換算為第二帶（西帶或東帶）的平面坐標，方法是先根據(jù)第一帶的平面坐標x,y和中央子午線的經(jīng)度L。按高斯投影坐標反算公式求得大地坐標B,L然后根據(jù)B,L和第二帶的中央子午線經(jīng)度按高斯投影坐標正算公式求得在第二帶中的平面坐標 ,。由于在換帶計算中，把橢球面上的大地坐標作為過渡坐標，因而稱為間接換帶法。這種方法理論上是嚴密的，精度高，而且通用性強，他適用于6°帶與6°帶，3°帶與3°帶，6°帶與3°帶之間的坐標換帶。雖然這種方法計算量較大，但可用電子計算機計算來克服，故已成為坐標換帶中最基本的方法。

2.2.3. 2坐標換帶的實際應用

在生產(chǎn)實踐中通常有以下兩種情況需要換帶計算

⑴控制網(wǎng)中的已知點位于相鄰的兩個投影帶中。如圖5

（圖5：坐標換帶示意圖）

中的附合導線，A,B,C,D為已知高級點。A,B 兩點位于西帶內，具有西帶的高斯平面直角坐標值；C,D兩點位于東帶內，具有東帶的高斯平面直角坐標值。在坐標平差計算時，就必須將它們的坐標系統(tǒng)統(tǒng)一起來，或是將A,B點的西帶坐標值換算至東帶，或是將C,D點的東帶坐標值換算至西帶。

⑵國家控制點的坐標通常是6°帶的坐標，而在工程測量中往往需要采用帶或1.5°帶，這就產(chǎn)生了6°帶與帶或 1.5°帶之間的坐標換算問題。

我們知道，帶的中央子午線中，有半數(shù)與6°帶的中央子午線重合。所以，由6°帶到3°帶的換算區(qū)分為2種情況：

① 3°帶與6°帶的中央子午線重合 如圖所示，3°帶第

（圖6：坐標換帶示意圖）

41

帶與6°第21帶的中央子午線重合。既然中央子午線一致，坐標系統(tǒng)也就一致。所以，圖中P1點在6°帶第21帶的坐標，也就是該點在3°帶第41帶的坐標。在這種情況下，6°帶與3°帶之間，不存在換帶計算問題。

② 3°帶中央子午線與6°帶分帶子午線不重合如圖所示，若已知P2點在6°帶第21帶的坐標，求它在3°帶第42帶的坐標。由于這2個投影帶的中央子午線不同，坐標系統(tǒng)不一致，必須進行換帶計算。不過P2點在6°帶第21帶的坐標與它在3°第41帶的坐標相同，所以6°帶到3°帶坐標換算，也可看作是3°帶到3°帶的鄰帶坐標換算。

換帶計算目前廣泛采用高斯投影坐標正反算方法 ，他適用于任何情況下的換帶計算工作。這種方法的程序是：首先將某投影帶的已知平面坐標(x1,y1 ),按高斯投影坐標反算公式求得其大地坐標（B,L）;然后根據(jù)緯度B和對于所選定的中央子午線的經(jīng)差,按高斯投影坐標正算公式求其在選定的投影帶的平面坐標（x2,y2）。

例如，某點A在新54坐標系6°帶的平面坐標為

x1=3589644.287

y1=20679136.439

求A點在3°帶的平面直角坐標（x2,y2）.

首先確定A點所在投影帶中央子午線經(jīng)度。由橫坐標的規(guī)定值可以直接判定，A點位于6°帶第20帶，其中央子午線經(jīng)度L。=117°，橫坐標的自然值為y1=679136.493-500000=+179136.439m;該坐標等同于3°帶第39帶的平面坐標。

其次將已知的6°帶坐標反算為大地坐標。為此，可直接應用坐標反算公式進行計算，其結果為

B=32°2457.6522＂

L=118°5415.2206＂

由大地經(jīng)度L可判斷，A點位于3°第40帶，中央子午線為L。=120°。

最后根據(jù)高斯投影坐標正算公式，由已知的緯度B和經(jīng)度計算A點在3°帶第40帶的平面直角坐標，得

x2=3588576.591

y2=40396922.874

其中橫坐標y2為規(guī)定值。

2.2.3. 3相鄰帶坐標換算存在的問題及解決方案

在具有不同抵償高程面的兩個相鄰投影帶之間進行坐標換帶計算時，由于具有不同的抵償高程面而使一個帶中的坐標換至相鄰帶時使長度變形超線，在線路工程測量中就需要進行精度預算，從而在進行坐標換帶計算時使長度變形控制在允許的范圍內。其基本方法如下：

根據(jù)高斯投影長度綜合變形公式 將長度綜合變形容許值1：40000代入上式即可得到下列方程對于已知高程面的測區(qū)，利用該式可以計算出相對變形不超過1：40000的投影帶內y坐標的取值范圍，根據(jù)y坐標的取值范圍使在布設控制導線邊時，使跨帶邊的長度變形在y坐標的取值范圍之內，這樣就可以進行換帶計算而不使綜合長度變形超線。其具體解決方案如下：

⑴國家統(tǒng)一帶相鄰帶的坐標換算方法：

在線路工程中，如果由于線路過長而需要進行相鄰帶的坐標換算，這是就需要對控制點進行精度預算，從而使換帶計算順利進行。其主要方法如圖：

根據(jù)高斯投影長度綜合變形公式 將長度綜合變形容許

（圖7：坐標換帶示意圖）

值1：40000代入上式即可得到下列方程對于已知高程面的測區(qū)，利用該式可以計算出相對變形不超過1：40000的投影帶內y坐標的取值范圍，根據(jù)y坐標的取值范圍使在布設控制導線邊時使P點處于41帶的擴展區(qū)域內，該擴展區(qū)內所有的點都滿足精度要求。這樣P點在兩個投影帶中都滿足精度要求同時又利于換帶計算。利用這種方法就可以很方便的進行相鄰帶的坐標換算。

⑵帶相鄰帶的換帶計算

當國家統(tǒng)一帶不能滿足精度要求時，即如上圖P點在相交處不能達到精度要求時就必須考慮其他方法來解決此問題。

由于投影帶劃分的目的是限制高斯投影長度變形，所以可以通過細分投影帶的方法來限制高斯投影長度變形。

其方法是：如圖P點，當該點在帶第42帶換算至第41帶時不能滿足精度要求時，就可以通過在原帶的基礎上細劃分為帶從而減少高斯投影長度變形，這樣相鄰帶之間在滿足精度要求的基礎上就有

（圖8：坐標換帶示意圖）

一部分擴展區(qū)域，在這部分擴展區(qū)域內所有的點在相鄰帶都滿足精度要求，這樣就可以用如上1分析的方法進行相鄰帶之間的坐標換算。

3 獨立坐標系統(tǒng)的建立

在工程建設地區(qū)(如公路、鐵路、管線)布設測量控制網(wǎng)時,其成果不僅要滿足1:500比例尺測圖需要，而且還應滿足一般工程放樣的需要。在線路測量中，總是要將測得的數(shù)據(jù)經(jīng)計算再放到實地而施工放樣時要求控制網(wǎng)由坐標反算的長度與實測的長度盡可能相符,但國家坐標系的成果很難滿足這樣的要求,這是因為國家坐標系每個投影帶（高斯投影）都是按一定的間隔(6°或3°)劃分,由西向東有規(guī)律地分布.由于每項工程的建設地區(qū)不同，且國家坐標系統(tǒng)的高程歸化面是參考橢球面,各地區(qū)的地面位置與參考橢球面都有一定的距離,這兩項將產(chǎn)生高斯投影變形改正和高程歸化改正,經(jīng)過這兩項改正后的長度不可能與實測的長度相等。

建立獨立坐標系的主要目的就是為了減小高程歸化與投影變形產(chǎn)生的影響，因此必須將它們控制在一個微小的范圍內，使計算出來的長度在實際利用時(如工程放樣)不需要做任何改算。

本章就如何建立獨立坐標系統(tǒng)而使其長度變形控制在允許范圍內作詳細討論。

3.1.1測量投影面與投影帶的選擇

3.1.1. 1 有關投影變形的基本概念

平面控制測量投影面和投影帶的選擇，主要是解決長度變形問題。這種投影變形主要由以下兩方面因素引起：

⑴實量邊長歸算到參考橢球體面上的變形影響 (3-1)

其推導過程為：

（圖9：實量邊長歸算到參考橢球體面示意圖）

由圖知

由上式可得從而可得

式中,為歸算邊高出參考橢球面的平均高程；

S為歸算邊的長度 ；

為實量邊長在參考橢球面上的長度

R為歸算邊方向參考橢球法截弧的曲率半徑。

歸算邊的相對變形為：

(3-2)

由公式可以看出： 值與成正比，隨增大而增大。

⑵將參考橢球面上邊長歸算到高斯投影面上的變形影響

(3-3)

式中,，即為投影歸算邊長即，

為歸算邊兩端點橫坐標平均值，

為參考橢球面平均曲率半徑。

投影邊的相對變形為：

(3-4)

由公式可以看出：的值總為正，即橢球面上長度歸算至高斯面上，總是增大的，值與成正比而增大，離中央子午線愈遠變形愈大。

3.1.1. 2 有關工程測量平面控制網(wǎng)的精度要求的概念

為便于施工放樣的順利進行，要求由控制點坐標直接反算的邊長與實地量得的邊長，在長度上應該相等，即由上述兩項歸算投影改正而帶來的變形或改正數(shù)，不得大于施工放樣的精度要求。一般地，施工放樣的方格網(wǎng)和建筑軸線的測量精度為1/5000～1/20000。因此，由歸算引起的控制網(wǎng)長度變形應小于施工放樣允許誤差的1/2，即相對誤差為1/10000～1/40000，也就是說，每公里的長度改正數(shù)，不應該大于10～2.5cm。

3.1.1. 3工程測量投影面和投影帶選擇的基本出發(fā)點

⑴ 在滿足精度要求的前提下，為使測量結果一測多用，應采用國家統(tǒng)一帶高斯平面直角坐標系，將觀測結果歸算至參考橢球面上。即工程測量控制網(wǎng)應同國家測量系統(tǒng)相聯(lián)系；

⑵當邊長的兩次歸算投影改正不能滿足上述要求時，為保證測量結果的直接利用和計算的方便，可采用任意帶的獨立高斯平面直角坐標系，歸算測量結果的參考面可自己選定。為此可用以下手段實現(xiàn)：① 通過改變從而選擇合適的高程參考面，將抵償分帶投影變形（稱為抵償投影面的高斯正形投影）；② 改變從而對中央子午線作適當移動，以抵償由高程面的邊長歸算到參考橢球面上的投影變形（稱為任意帶高斯正形投影）；③ 通過既改變（選擇高程參考面），又改變（移動中央子午線），來抵償兩項歸算改正變形（稱為具有高程抵償面的任意帶高斯正形投影）。

3.1.2 投影改正值的變化規(guī)律

一般情況下，將投影改正作為常數(shù)看待，不考慮測區(qū)內不同位置投影改正值的變化問題。然而在實際情況中，即使在地形比較平坦的地區(qū)或較小范圍的測區(qū)，其影響也是不容忽視的。

設測區(qū)中任一點 k 與測區(qū)中心在東西方向（y軸）上的距離為y，與測區(qū)平均高程的高差為h 。k點的兩項投影改正與測區(qū)中心過平均高程面的改正是不一樣的。

3.1.2. 1觀測值化至參考橢球面投影改正值的變化

k 點的大地水準面投影改正為：

上式中等號右邊的第二項即為橢球面投影改正的變化量，令

由上式可知，高差h與投影改正的變化量成正比，隨著h的增大而增大。

3.1.2. 2橢球面上的觀測值化至高斯平面投影改正值的變化

k點的高斯平面投影改正為：

令

上式即為橢球面上的觀測值化至高斯平面投影改正的變化量。

由上式可見，若s為常量與y 和兩個變量有關，其規(guī)律為：

⑴當=0時，中央子午線在測區(qū)中心。

⑵與成正比關系，隨著值的增加而增加；

⑶與y 成拋物線的關系，隨著y的增加而增加；

⑷當一定時，隨著（y）的值增加，y（）的值急劇減小。

3.1.3觀測值化至橢球面上的計算

3.1.3. 1預備計算

其內容包括水平方向的歸化改正（三差改正）、長度歸化改正和天文方位角歸化為大地方位角的計算。在這些公式中需要有關邊長的近似大地方位角，為此需進行一些必要的預備計算工作。

⑴ 三角形閉合差及測角中誤差的計算

計算三角形閉合差的目的是為了計算近似平面歸化角和測角中誤差；而求近似平面歸化角的目的是為求近似坐標方位角和各點的近似坐標做準備。

三角形閉合差按下式計算：

(3-5)

測角中誤差按菲列羅公式計算

(3-6)

式中w為三角形閉合差（按2-33式計算），n為三角形個數(shù)。

⑵ 近似坐標計算

為計算近似子午線收斂角（為求近似大地方位角用）及方向改化和距離改正，需計算各三角點的近似坐標。坐標的計算有兩種方法：

變形戎格公式：

(3-7)

坐標增量公式：

(3-8)

當有兩個已知點坐標時，前式計算較為方便，否則用后式為好。式中為近似平面邊長，由近似邊長計算得到。為近似坐標方位角，由已知的坐標方位角和近似平面角推算得到。近似坐標計算到0.1m（若三四等計算至1m）。高等級控制網(wǎng)要求歸化工作很高精度時，有時需經(jīng)過二次趨近計算近似坐標才能滿足要求（三四等一般只計算一次即可）。

⑶ 近似子午線收斂角及近似大地方位角的計算

計算目的是為了計算近似大地方位角，而計算近似大地方位角的目的是為滿足觀測值歸化至橢球面上的各項計算所需。

近似子午線收斂角公式： (3-9)

式中 ,

K和可在《測量計算用表》中以近似坐標x,y查取。

近似大地方位角的計算公式： (3-10)

式中抄自近似坐標計算時的近似坐標方位角。

⑷已知數(shù)據(jù)的換算

平面直角坐標換算為大地坐標

為計算已知點的子午線收斂角和垂線偏差分量，當已知點的起算坐標為高斯投影平面直角坐標x,y時，則應將其換算為大地坐標。公式即為高斯投影坐標反算公式（計算過程與前面介紹的完全相同）

(3-11)

⑸ 垂線偏差分量的計算

為對水平方向施加垂線偏差改正，必須計算各點的垂線偏差分量。若有測區(qū)范圍的垂線偏差圖，則可根據(jù)各三角點的近似坐標查取，而不必進行該項計算。如無分量圖，應視情況采用不同方法進行計算。

對有天文觀測資料（天文經(jīng)緯度）的全部三角點，按下式計算：

(3-12)

對有重力資料的三角點按下式計算：

(3-13)

將算得的垂線線分別標在圖上，并據(jù)其數(shù)值內插描繪的等間隔曲線，則其余控制點的值可在該圖上內插得到。將獲得的取至（對于三、四等三角測量，在我國東部平原地區(qū)，當時，可不進行此項計算。）

⑹大地水準面差距的計算

為將基線長度歸算至參考橢球面以及為了在水平方向中加入標高差改正數(shù)，需計算各點的大地水準面差距。如有大地水準面差距圖，可采用天文水準的方法推求，其公式為：

(3-14)

大地水準面差距也可由大地水準面差距圖中查取的。有時在平原地區(qū)由于不大，往往略去該項計算。

⑺ 三角點上的三角高程計算

為了計算三差改正中的“標高差”改正數(shù)，必須要知道各三角點的高程。在沒有幾何水準測定高程的三角點上，可用三角高程方法推求，其公式為：

(3-15)

式中為已知點高程，S為兩點間球面邊長， 為觀測的高度角，c為地球曲率半徑和大氣折光差改正數(shù)，及分別為測站點儀器高和照準點標高，為高差改正項，或，當兩點高差小于1000m時，可略去的計算。

3.1.3. 2觀測值化至橢球面上的計算

⑴觀測方向值歸化改正數(shù)的計算

水平方向歸化到橢球面上須在測站平差和歸心改正后的方向值中加入以下三項改正：

① 垂線偏差改正

計算公式為

(3-16)

計算取至（三、四等三角測量通常不計算，只有當時才考慮的改正，此時取至即可）。

② 標高差改正

計算公式為：

(3-17)

式中為照準點的海拔高程，為照準點的大地水準面差距，為標高。按在《測量計算用表》中查取。算至（三、四等測量時，通常不考慮，但當時，應計算改正，計算取至即可）。

③ 由法截弧方向化為大地線方向的改正

計算公式為：

(3-18)

式中按S和B在《測量計算用表》中查取。因很小，只有在一等三角測量概算時才計算。

三項改正計算后,并取各改正數(shù)的代數(shù)和，然后化算為歸零值，即得到觀測方向值歸化至橢球面上的改正數(shù)。把歸算至標石中心的觀測方向值加上相應的歸化改正數(shù)，便獲得歸化到橢球面上的方向值。

⑵ 基線長度和觀測邊長的歸化改正

起算邊長及實測邊長都應歸化為橢球面上的大地線長度。歸化公式為 (3-19)

式中為邊長歸化改正數(shù)，d為經(jīng)傾斜及歸心改正后的實測邊長，s為橢球面上相應的大地線長度，為歸化邊長高出橢球面的平均高程（大地高），R為歸化邊長方向法截弧曲率半徑。

⑶起始方位角的化算

已知的起始天文方位角或實測的天文方位角都必須歸化成橢球面上大地方位角。其計算公式為：

(3-20)

式中為觀測的天文方位角，分別為測站點的天文經(jīng)、緯度，為測站點的大地經(jīng)度，為垂線偏差改正。

至此，已將地面觀測值都歸化到橢球面。

3.1.4橢球面上的觀測值化至高斯平面上的計算

為了在平面上進行平差，還必須將橢球面上的觀測值化至高斯平面上，這項工作包括方向改化、距離改化和大地方位角化算為坐標方位角等三項內容。

3.1.4. 1方向改化的計算

為將橢球面上方向值化算到高斯平面上，需計算方向改化用的方向改正數(shù)。公式為：

(3-21)

三、四等方向改正計算公式

(3-22)

以上兩式，《由高斯克呂格計算用表》按兩點間平均緯度查取。x,y均抄自近似坐標計算，取至0.1m。方向改化為每個三角形三個內角的角度方向改化之代數(shù)和應等于該三角形的球面角超的反號，以此作為方向改正數(shù)計算正確性的檢核，不符值應在內（三、四等應在之內）。歸零后再加到已歸化至橢球面上的方向值上，于是便得到化算至高斯平面上的方向值（取至，三、四等取至）。

3.1.4. 2距離改化計算

為把橢球面上大地線的長度化算為高斯平面上的直線長度，需計算距離改化的改正數(shù)，其公式為：

(3-23)

其中S為橢球面上大地線長度，D為高斯平面上長度。，以km為單位，抄自近似坐標計算。以為引數(shù)從《測量計算用表》中查取，以km為單位，距離改化計算值取至1mm。

3.1.4. 3大地方位角化算為坐標方位角的計算

為在高斯平面上進行坐標計算，要求推求各邊的坐標方位角，為此需把起始大地方位角化算成坐標方位角，計算公式為：

式中為大地方位角，為起算點的子午線收斂角，可由起算點的坐標算得，為起始方向的方向改化值。

至此，觀測成果及有關已知數(shù)據(jù)的化算工作已全部結束。

3.2.1抵償投影面的帶高斯正形投影平面直角坐標系

這種坐標系仍采用國家帶高斯正形投影，但投影的高程面不用參考橢球面而另選用一高程參考面，借以補償因高斯投影帶來的長度變形。在這個高程參考面上，投影長度變形為零。

公式（3—1）表明，將距離由較高的高程面化算至較低的橢球面時，長度總是減小的；公式（3—3）表明，將橢球面上的距離化算至高斯平面時，長度總是增加的。所以兩個投影過程對長度變形具有抵償?shù)男再|。如果恰當選擇橢球的半徑，使距離化算到這個橢球面上所減小的數(shù)值，恰好等于由這個橢球面化算至高斯平面所增加的數(shù)值的話，那么，高斯平面上的距離就同實地的距離一致了。這個適當?shù)臋E球面，就稱之為“抵償高程面”。

欲使長度綜合變形得以抵償，最好是以測區(qū)中心的綜合長度變形為0 ，既δ= 0 ，也就是保證 ： 。

將推導公式 所引用的關系和數(shù)據(jù)代入，則有

式中，若y以百公里為單位，H以米作為單位，則有

H = 785 （3-24）

利用上式就可以確定抵償高程面的位置。例如，某地中心在高斯投影帶的坐標為 y =91 km ，該地區(qū)的平均高程為400 m ，按上式算得：

H = 785 =650 m

（圖10：以抵償面作投影面示意圖）

即抵償面應比高程面低650 m 如圖所示：

抵償面的高程應為

抵償面的位置確定后，就可以選擇其中一個國家控制點作為“原點” ，保持它在國家帶內的國家統(tǒng)一坐標值（ ，）不變，而將其他大地控制點的坐標（X ，Y）換算到抵償高程面相對應的坐標系中去，換算公式為：

式中，R為該地區(qū)平均緯度處的橢球平均曲率半徑。這樣，經(jīng)過上式換算的大地控制點坐標就可以作為控制測量的起算數(shù)據(jù)。

通過上述方法測得的控制點的局部坐標系中的坐標，可以按下式反算成國家統(tǒng)一坐標系內的坐標：

可以看出，通過此方法建立的獨立坐標系，其測區(qū)中心的綜合變形為 0 ，但離測區(qū)中心越遠，變形也就越大，抵償面與平均高程面的高差越大，測區(qū)的范圍越小，而由（3—24）可知，此高差是由測區(qū)中心距帶中央子午線的距離來決定的，也就是說，測區(qū)中心離中央子午線越遠，測區(qū)的范圍也就越小，這些可以由變形相似公式推導出來：

而在實際應用中的允許值大都為2.5 cm/km，即1：4萬，將其代入上式，即得：

此式中，y的單位為km，H的單位也是 km，將此式改變一下，并保持y的單位不變，H以米作為單位，則得到：

當H < 170 m時

當H >170m時

將此式標注為（3—25）

由（3—24）式可以由測區(qū)中心算出抵償高程面的位置，而由（3—25）式可以由抵償高程面的高低計算測區(qū)的范圍。因此，測區(qū)中心的位置決定了高程抵償面的位置和測區(qū)范圍。

為了更加明了的，并方便實際應用，可以計算得出下表：

(表2: 以測區(qū)中心決定的抵償面位置及測區(qū)范圍)

測區(qū)中心距中央子午線的位置 （km）	抵償高程面的位 置H （km）	測區(qū)范圍（km）
0	0	- 45 ～ 45
20	31.4	- 29 ～ 49
40	126	- 20 ～ 60
50	196	21 ～ 67
60	283	39 ～ 75
80	502	66 ～ 92
100	785	89 ～ 110
120	1130	111 ～ 128

3.2.2任意帶高斯正形投影平面直角坐標系

這種坐標系仍將地面觀測結果歸算至參考橢球面上，但不采用國家帶統(tǒng)一的分帶方法而選擇測區(qū)中心子午線作為中央子午線，借以補償因實測結果算至參考橢球面帶來的長度變形。

不同投影帶的出現(xiàn)，是因為選擇了不同經(jīng)度的中央子午線的緣故。如果合適的選擇中央子午線的位置，使長度投影到該帶所產(chǎn)生的變形，恰好抵償這一長度投影到橢球面所產(chǎn)生的變形，此時，高斯投影面上的長度仍然和實地的長度一致。我們稱這種抵償長度變形的投影帶為“任意投影帶” 。

根據(jù)綜合變形長度相對變形形式

可知，測區(qū)中心離子午線的距離 y 的選擇與允許相對誤差和測區(qū)的平均高程有關。

將長度綜合變形的允許值1：4萬代入上式，即可得：

= 0.78· （3—26）

對于某已知高程面的測區(qū)，利用上式可以計算出相對的變形不超過1：4萬的國家統(tǒng)一帶內的 y 坐標取值范圍；同理，對于帶內的不同投影區(qū)域，可以算出綜合變形不超過允許數(shù)值時測區(qū)的平均高程的取值范圍。

如果測區(qū)中心的坐標為橫軸，取測區(qū)的平均高程H為縱軸，根據(jù)式（3—26）就可以畫出相對變形恒為允許數(shù)值之間的兩條曲線。這兩條曲線就是適用于控制測量的投影帶范圍的臨界限，或者說兩條曲線間的區(qū)域就是適用于城鎮(zhèn)測圖和工程測量的投影帶范圍。

（圖11：測區(qū)適用范圍示意圖）

如果根據(jù)式（3—26）畫圖，可以直觀形象的判斷國家統(tǒng)一帶坐標系是否適合于本測區(qū)的需要。如果根據(jù)本測區(qū)的平均高程和帶 y坐標所確定的位置，處于兩曲線以外的“不適用區(qū)” ，就應該考慮另行選擇坐標系。

由公式（3—25）

當H < 170 m時

當H >170m時

可以根據(jù)測區(qū)平均高程計算由此方法可以適用的范圍。為方便應用，可以計算編制下表：

(表3:以測區(qū)平均高程確定的任意帶子午線位置及測區(qū)范圍)

測區(qū)平均高程H（m）	中央子午線離測區(qū)中心位置（km）	測區(qū)的范圍（km）
0	0	-45～45
100	36	-21～57
150	44	-19～63
200	50	21～67
300	62	42～76
400	71	55～84
500	80	65～92
600	87	74～98
700	94	82～105
800	101	90～110
900	107	97～116
1000	113	103～121
1100	118	109～126
1200	124	115～131

3.2.3具有高程抵償面的任意帶高斯正形投影平面直角坐標系

我們已經(jīng)知道，影響長度變形的因素主要有兩個，一是將實地距離化算至參考橢球面的變形，再者是將投影面上的長度投影至平面坐標的變形。前面所述的兩種方法都是改變其中的一種長度變形而將綜合變形控制在允許的范圍之內的。而此種方法則同時改變了兩種變形量，這也是一般工程中經(jīng)常采用的建立獨立坐標系的方法。

選擇平均高程面做投影面，通過測區(qū)中心的子午線為中央子午線，按高斯投影計算的平面直角坐標的建立可以分成以下幾步：

⑴．利用高斯投影正反算的方法 ，將國家點的平面坐標換算為大地坐標（ B ，L ）；并由大地坐標計算這些點在選定的中央子午線投影帶內的直角坐標（ X ，Y ） 。關于高斯投影坐標的正反算問題在前面已經(jīng)做了詳細的介紹。

⑵．選擇其中一個國家點作為“原點” ，保持該點在選定的投影帶內的坐標設為（ ， ）不變,其他的國家控制點可以換算到選定的坐標系中去，公式為：

（把選定的坐標系中的點換算到國家坐標系統(tǒng)時亦采用此公式）

經(jīng)過換算后的各國家控制點可以作為新建立的獨立坐標系里的控制點，作為控制網(wǎng)的起算數(shù)據(jù)。

這種方法是將測區(qū)的平均高程面作為投影面，測區(qū)的中心子午線為中央子午線，是綜和前兩種坐標系統(tǒng)的優(yōu)點的一種任意高斯投影計算平面直角坐標系，是工程單位常用的測量坐標系統(tǒng)。

3.2.4獨立平面直角坐標系

這是當測區(qū)控制面積較小，不可進行方向和距離改正，直接把局部地球表面作為平面而建立的獨立平面直角坐標系。這種坐標系可與國家控制網(wǎng)聯(lián)系，取得起始坐標及起始方位角；亦可采用假定坐標。公路勘測規(guī)范規(guī)定，三級（含三級）以下公路、獨立橋梁、隧道及其他構造物等小測區(qū)方可采用。

3.2.5計算新橢球常數(shù)

在工程應用中，當采用獨立坐標系統(tǒng)時往往需要改變高程歸化面而使綜合長度變形控制在允許的精度范圍之內，這樣做的話就會使新的投影面與國家參考橢球面不一致，在進行坐標計算時由于橢球常數(shù)發(fā)生改變而使坐標計算存在誤差，因此必須計算新的橢球常數(shù)。

新橢球常數(shù)按下列方法和步驟進行。

(1)新橢球是在國家坐標系的參考橢球上擴大形成的，它的扁率應與國家坐標系參考橢球的扁率相等。

即

第一偏心率和第二偏心率也與國家參考橢球相同；

即

(2)計算該坐標系中央地區(qū)的新橢球平均曲率半徑和新橢球長半軸：

新橢球平均曲率半徑為：

式中：

為該地區(qū)平均大地高；

α為國家參考橢球長半軸；

為城市中心地區(qū)的平均緯度。

新橢球的長半軸按下式計算：

(3)計算新橢球常數(shù)。

新橢球確定后，全部計算工作都要在新橢球面上或者通過新橢球傳算到高斯平面上進行。而其中進行的大地坐標的正反算工作是大量的。1997年《測繪通報》第3起登載了中國測繪科學研究院顧旦生研究員的“一組高精度橢球面電子計算實用公式”文章，其中有一部分列出了大地坐標正反算公式的全部內容，但涉及很多橢球常數(shù)，只有計算出這些新橢球常數(shù)，這組公式才能在地方獨立坐標系中得以應用�，F(xiàn)將這些橢球常數(shù)的計算公式列出以供參考：

,

），

其中：

),

),

),

另一組常數(shù)為：

新橢球常數(shù)計算后就可以將屬于國家大地坐標系的起算點轉換為地方獨立坐標系。

設某起算點在國家坐標系中的大地坐標為B,L，由于新橢球的球心與舊橢球重合，扁率不變，經(jīng)度不會發(fā)生變化，

即

其緯度值為：

式中：

Δa為兩橢球的長半軸之差，

為國家參考橢球第一偏心率

再根據(jù)新布設的中央子午線，采用高斯投影正算公式可將、化為、,然后對所有觀測數(shù)據(jù)均以新坐標系為準進行化算和平差。如果要將獨立坐標系點的坐標化為國家坐標系，只要根據(jù)高斯投影反算公式計算出、, 然后利用上列公式化為國家坐標系的，再利用高斯投影正算公式并根據(jù)國家坐標系相應的中央子午線，即可化為。

3.3.1測區(qū)任意一點高差h 的最大允許值

為使投影改正達到應有的精度，必須分析h最大允許值。以下計算取S= 1 km，d =25 mm 。

設測區(qū)任一點與平均高程的高差允許值

由式可以寫成

若取的極限值25 mm/km ，可得=159 m ，由于極限值 25 mm/km是和兩項改正之和的允許值，因此

（其中和的公式在本章第一節(jié)中已作推導）

3.3.2測區(qū)東西任一向長度的最大允許值y

根據(jù)中央子午線在測區(qū)中的位置不同可分為兩方面進行討論，即中央子午線過測區(qū)中心時高斯平面的投影改正和中央子午線在任意位置時在高斯投影平面上的投影改正。

3.3.2. 1中央子午線過測區(qū)中心時高斯平面的投影改正變化值

當中央子午線過測區(qū)中心時= 0 ，則由計算公式可得y與的變化值，從而得知：

當中央子午線經(jīng)過測區(qū)中心時，即使測區(qū)范圍很大，高斯平面的投影改正也很�。ㄟh小于限差25 mm）。這就是很多實際工程測量人員在采用抵償高程面建立獨立坐標系時將高斯投影改正視作常數(shù)而對其變化量不予考慮的原因所在。

3.3.2. 2中央子午線在任意位置時的值

將計算的公式可以改寫成以下形式

令 ，可得：

若取的極限值25 mm/km，則km 。由上式可以計算在不同的值時的允許值。

由以上分析可以得知：

⑴在不考慮投影至橢球面的改正的情況下，當中央子午線經(jīng)過測區(qū)中心時，測區(qū)東西范圍的長度可允許值可達到90 km 。

⑵在有改正變化允許值和值時，測區(qū)中心至東西一翼的允許長度是不一致的，越小，其差值就越大。因此，在用抵償面作投影面時，當測區(qū)的范圍大小和高差變化使得變形總量接近極限時，可不以測區(qū)中心的y值作值而作適當?shù)恼{整以滿足要求。

⑶隨著中央子午線與測區(qū)中心的距離的增大，測區(qū)東西一向的允許長度迅速減小。帶橫坐標自然值最大約160 km ，即在帶的邊緣地區(qū)，測區(qū)東西方向一向長度若超過了6.2 km，高斯平面投影的改正變化量就已經(jīng)超過了25mm，即使整個測區(qū)地形平坦，以測區(qū)地面作投影面，其總的投影改正值也已超過限差要求。這就是用抵償高程面作投影面時應仔細考慮的地方。

若再考慮大地水準面改正的變化量，則：

若測區(qū)邊緣高于測區(qū)平均高程的高差達到了100 m，測區(qū)的中心橫坐標值為150 km ，則=15.7 mm ，可得：=2.5 km ，這對測區(qū)的范圍要求是非常嚴格的，因此，在山區(qū)測量時應特別注意。

3.3.3坐標系統(tǒng)最佳位置分析

在建立獨立坐標系統(tǒng)，選擇中央子午線和投影面的位置時，只需計算測區(qū)中任一點的兩項投影改正之和不超過1：40000的精度要求即可，即：

25 mm/km

式中：為k點的在獨立坐標系統(tǒng)中的坐標自然值，為k點在獨立坐標系統(tǒng)中的高程。然而，在實際工作中如此考慮不現(xiàn)實，應該根據(jù)具體情況作具體分析，其方法如下

3.3.3. 1在實際工程中如何確定中央子午線的位置

一般來說在允許的情況下，采用抵償高程面建立坐標系統(tǒng)是一種簡便實用的方法。但在測區(qū)距中央子午線較遠，測區(qū)范圍或地形起伏比較大時，能否采用抵償高程面作投影面的方法就需要進行仔細的分析和準確的計算了。根據(jù)以上分析可知，如果采用一個坐標系能覆蓋整個測區(qū)的話，將中央子午線設在測區(qū)中心應該是最合適的解決方法。

3.3.3. 2如何確定最佳投影面位置

將中央子午線設在測區(qū)中心后，還需考慮投影面的位置。當測區(qū)地形起伏較大而相對范圍較小的地區(qū)，將投影面設在測區(qū)的平均高程面上是一種比較好的方法。

對于地形平坦或高低起伏較小而范圍相對較大的測區(qū)，取平均高程面作投影面也不是理想的選擇，尤其是測區(qū)范圍達到了極限（如平原地區(qū)的大型線路工程）的測區(qū)。選擇最佳投影面位置的基本方法是：

由于高斯平面投影始終為正值，中央子午線設在測區(qū)中心，則高斯平面投影改正最小值就在測區(qū)中心，其值為0 。這時應考慮將投影面盡可能的下移使在橢球面上投影改正為負值以盡可能的控制最大的測區(qū)范圍。具體要求是：

⑴測區(qū)中心處的參考橢球面投影改正值不超過其允許值；

⑵測區(qū)邊緣兩項改正之和不超過其允許值d。

設測區(qū)中心地區(qū)的高程為 ，測區(qū)邊緣與中心處的高差為，當整個測區(qū)地形條件允許時，投影面的最佳位置為 H =-159 m 。

測區(qū)邊緣的大地水準面投影改正為： ，

兩項改正之和為： ，

取25mm/km ，S = 1 km ，可得：

當測區(qū)地形平坦的時，= 0 ，則=63 km 。這樣盡可能的加大測區(qū)范圍，對于大型線狀工程測量工作具有實際應用價值。

4 小結

線路獨立坐標系主要是針對線路工程建立的坐標系統(tǒng)。由于線路工程一般跨度比較大，當采用國家統(tǒng)一坐標系統(tǒng)時，往往會因為投影長度變形超限而不能滿足工程需要，這時就需要考慮建立獨立坐標系統(tǒng)。

獨立坐標系統(tǒng)的建立主要考慮的是如何使高斯投影長度變形控制在允許的精度范圍之內，從而達到精度要求，這時就需要對抵償高程面的最佳位置以及中央子午線的最佳位置進行分析討論。當采用抵償高程面作投影面建立獨立坐標系統(tǒng)時，不但要考慮測區(qū)距中央子午線的位置和測區(qū)的平均高程還要仔細分析測區(qū)的高低起伏情況以及測區(qū)的大小。當以測區(qū)中心為中央子午線建立獨立坐標系統(tǒng)時應盡可能地下移投影面的位置，從而使測區(qū)范圍盡可能地擴大。

當線路由于過長而跨越幾個投影帶時，采用一個坐標系統(tǒng)就不能滿足工程需要，這時就需要建立多個坐標系統(tǒng)，并且要進行相鄰投影帶之間的換帶計算以達到多個坐標系統(tǒng)之間的統(tǒng)一。

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