一、緩和曲線的作用及其幾何特征
行駛于曲線軌道的機車車輛，出現(xiàn)一些與直線運行顯著不同的受力特征。如曲線運行的離心力，外軌超高不連續(xù)形成的沖擊力等。為使上述諸力不致突然產(chǎn)生和消失，以保持列車曲線運行的平穩(wěn)性，需要在直線與圓曲線軌道之間設(shè)置一段曲率半徑和外軌超高度均逐漸變化的曲線，稱為緩和曲線。當緩和曲線連接設(shè)有軌距加寬的圓曲線時，緩和曲線的軌距是呈線性變化的。概括起來，緩和曲線具有以下幾何特征：
1. 緩和曲線連接直線和半徑為R的圓曲線，其曲率由零至1/R逐漸變化。
2. 緩和曲線的外軌超高，由直線上的零值逐漸增至圓曲線的超高度，與圓曲線超高相連接。
3. 緩和曲線連接半徑小于350m的圓曲線時，在整個緩和曲線長度內(nèi)，軌距加寬呈線性遞增，由零至圓曲線加寬值。
因此，緩和曲線是一條曲率和超高均逐漸變化的空間曲線。
二、緩和曲線的幾何形位條件
圖2-9所示為一段緩和曲線。其始點與終點用ZH與HY表示。要達到設(shè)置緩和曲線的目的，根據(jù)如圖所取直角坐標系，緩和曲線的線形應(yīng)滿足以下條件：
 |
| 圖 2－9緩和曲線坐標圖 |
1.為了保持連續(xù)點的幾何連續(xù)性，緩和曲線在平面上的形狀應(yīng)當是：在始點處，橫坐標x ＝ 0,縱坐標y ＝ 0,傾角φ ＝ 0;在終點處，橫坐標 x=x0，縱坐標y=y0 ，傾角φ ＝φ0 。
2.列車進入緩和曲線，車體受到離心力 J的作用，為保持列車運行的平穩(wěn)性，應(yīng)使離心力不突然產(chǎn)生和消失，即在緩和曲線始點處，J ＝0,在緩和曲線終點處 Ρ=R。
3.緩和曲線上任何一點的曲率盈余外軌超高相吻合�！ �
在縱斷面上，外軌超高順坡的形式有兩種形式。一種形式是，如圖2-10（a）所示；另一種形式是曲線形，如圖2-10（b）所示。
 |
| 圖 2－10 超高順坡 |
列車經(jīng)過直線順坡的緩和曲線始點和終點時，對外軌都會產(chǎn)生沖擊。在行車速度不高，超高順破相對平緩時，列車對外軌的沖擊不大，可以采用直線形順坡，即可滿足曲率與超高相配合的要求。
當行車速度較高，為了消除列車對外軌的沖擊，應(yīng)采用曲線形超高順坡。其幾何特征是緩和曲線始點及終點處的超高順坡傾角r=0 ，即在始點和終點處應(yīng)有：
式中 h--外軌超高度，其值為：
l--曲線上任何一點至緩和曲線起點的距離。
對某一特定曲線，平均速度 vp可視為常數(shù)。
令 
則
可見緩和曲線上各點超高為曲率K的線性函數(shù)。因此，在緩和曲線始、終點處應(yīng)有：
4.列車在緩和曲線上運動時，其車軸與水平面傾斜角φ不斷變化，亦即車體發(fā)生測滾。要使鋼軌對車體傾轉(zhuǎn)的作用力不突然產(chǎn)生和消失，在緩和曲線始、終點處應(yīng)使傾轉(zhuǎn)的角加速度為零 。
可見：
式中 h ＝ EK 由此 
因為 
所以 
綜上所述，緩和曲線的線形條件，可歸納如表2-5。
表 2-5 緩和曲線線形條件表
| 順序 | 符號 | 始點 | 終點 | 始終至終點之間 |
| 1 | y | 0 | y0 | 連續(xù)變化 |
| 2 | φ | 0 | φ0 | |
| 3 | K | 0 | 1/R | |
| 4 |  |
0 | 0 | |
| 5 |  |
0 | 0 |
可以看出，表中前兩項是基本的幾何形位要求，而后三項則是由行車平穩(wěn)性形成的力學條件推導出的幾何形位要求。在行車速度不高的線路上，滿足前三項要求的緩和曲線尚能適應(yīng)列車運行的需要，而在速度較高的線路上，緩和曲線的幾何形位就必須考慮后兩項的要求。
三、常用緩和曲線
滿足表2-6中前三項要求的緩和曲線，是目前鐵路上最常用的緩和曲線，所以也稱為常用緩和曲線。
常用緩和曲線的外軌超高順坡，其基本方程必須滿足的條件為：
當l=0 時，K=0 ；當l=l0 時，K=1/R 。
由超高與曲率的線性關(guān)系可知，滿足這些條件的基本方程應(yīng)為：
（2－23）
式中 K--緩和曲線上任意一點的曲率；
l--緩和曲線上某一點離ZH點（或HZ點）的距離；
K0--緩和曲線終點HY點（或YH點）的曲率；
l0--緩和曲線長度。
由式（2-12）可見，緩和曲線長度l與其曲率K成正比。符合這一條件的曲線稱為放射螺旋線。
緩和曲線的偏角為：
�。�2－24）
在緩和曲線終點處，l=l0,緩和曲線偏角為：
�。�2－25）
由式（2-24）可見，在緩和曲線長度范圍內(nèi)，偏角 數(shù)值較小，可取近似值：
于是可得 
積分上兩式得
�。�2－26）
�。�2－26）
這就是放射螺旋線得近似參變數(shù)方程式，是我國鐵路常用得緩和曲線方程式。如消去上兩式得參變數(shù)l，則得
�。�2－28）
這是放射螺旋線得近似直角坐標方程式。在曲線半徑較小得鐵路上，采用第一項作為近似式。
四、高次緩和曲線
滿足表2-6中前兩項或全部五項要求得緩和曲線稱為高次緩和曲線。高次緩和曲線外軌超高順坡為曲線順坡。這種曲線在列車經(jīng)過時，各種力得作用不突然產(chǎn)生和消失，適應(yīng)高速行車的需要。
求緩和曲線方程的方法，可先確定一個符合條件的基本方程，在逐步推導，最后得出所需求的緩和曲線方程式。
表2-6列出可用于高速鐵路的三種高次緩和曲線。
表 2-6 高次緩和曲線
| 緩和曲線 | 基本方程 | 方程式 |
| 趙氏七次式 |  |
 |
| 沙氏正弦形 |  |
 |
| 日本高速鐵路半波正弦形 |  |
 |
五、緩和曲線的長度
緩和曲線長度的確定，受到許多因素影響，其中最主要的是保證行車安全和行車平穩(wěn)兩個條件。
1.緩和曲線要保證行車安全，使車輪不致脫軌。
機車車輛行駛在緩和曲線上，若不計軌道彈性和車輛彈簧作用，則車架一端的兩輪貼著鋼軌頂面；另一端的兩輪，在外軌上的車輪貼著鋼軌頂面，而在內(nèi)軌上的車輪是懸空的。為保證安全，應(yīng)使車輪輪緣不爬越內(nèi)軌頂面。設(shè)外軌超高順坡坡度為i，最大固定軸距為Lmax ，則車輪離開內(nèi)軌頂面的高度為 。當懸空高度大于輪緣最小高度 iLmax時，車輪就有脫軌的危險。因此必須保證：
（2－29）
式中 i0-- 外軌超高順坡坡度。
緩和曲線長度l0應(yīng)為：
(2-30)
式中 h0--圓曲線超高度。
對外軌超高順坡為曲線性的緩和曲線，外軌超高順坡的最大坡度也要滿足式（2-29）對i0 的要求。曲線形順坡的坡度由下式計算：
（2－31）
《鐵路線路維修規(guī)則》規(guī)定：曲線超高應(yīng)在整個緩和曲線內(nèi)完成，順坡坡度一般不應(yīng)大于1/(9vmax)；困難條件下不得大于1/(7vmax) 。當1/(7vmax)大于2‰時，按2‰設(shè)置。
2.緩和曲線長度要保證外輪的升高（或降低）速度不得超過限值，以滿足旅客舒適度要求。
車輪在外軌上的升高速度μ由下式計算：
式中 h--圓曲線外軌超高，以mm計；
vmax--通過曲線的最高行車速度，以m／s計；
l0--緩和曲線長度，相當于直線形順坡緩和曲線長度，以m計。
為保證旅客舒適度的要求，則緩和曲線長度為：
（2－32）
式中 Vmax--通過曲線的最高行車速度，以km／h計；
1/3.6--換算系數(shù)。
我國根據(jù)長期運營實踐，μ０在一般情況下采用32mm／s；困難地段用40mm／s 。
運營鐵路以實際最高行車速度及實設(shè)超高為計算標準。一般地段μ０ ＝28mm／s，特別困難地段μ０ ＝40mm／s。則在一般地段應(yīng)�。�
（2－33）
計算結(jié)果取兩項要求中的最大值，并取為10m的整倍數(shù)�！惰F路線路設(shè)備大修規(guī)則》規(guī)定：緩和曲線長度 一般地段：
（2－34)
特別困難地段
�。�2－35)
式中 l0--緩和曲線長，以m計；
h--超高，以m計；
Vmax--容許最高行車速度。
計算結(jié)果取10m的整倍數(shù)，長度不短于20m。兩緩和曲線間的圓曲線長度不短于20m。
緩和曲線長度應(yīng)根據(jù)曲線半徑，路段旅客列車設(shè)計速度和地形條件按表2-7選用。有條件時應(yīng)采用較表2-7規(guī)定的更大值。
表 2-7 緩和曲線長度(m)
| 路段旅客列車設(shè)計行車速度(km/h) | 140 | 120 | 100 | 80 | |||||
| 標準類別 | 一般 | 困難 | 一般 | 困難 | 一般 | 困難 | 一般 | 困難 | |
| 曲線半徑(mm) | 10000 | 30 | 20 | 20 | 20 | 20 | 20 | 20 | 20 |
| 8000 | 40 | 20 | 30 | 20 | 20 | 20 | 20 | 20 | |
| 6000 | 50 | 30 | 30 | 20 | 20 | 20 | 20 | 20 | |
| 5000 | 60 | 40 | 40 | 30 | 20 | 20 | 20 | 20 | |
| 4000 | 60 | 40 | 50 | 30 | 30 | 20 | 20 | 20 | |
| 3000 | 70 | 50 | 50 | 40 | 40 | 20 | 20 | 20 | |
| 2500 | 80 | 70 | 60 | 40 | 40 | 30 | 30 | 20 | |
| 2000 | 90 | 80 | 60 | 50 | 50 | 40 | 30 | 20 | |
| 1800 | 100 | 80 | 70 | 60 | 50 | 40 | 30 | 20 | |
| 1600 | 110 | 100 | 70 | 60 | 50 | 40 | 40 | 20 | |
| 1400 | 130 | 110 | 80 | 70 | 60 | 40 | 40 | 20 | |
| 1200 | 150 | 130 | 90 | 80 | 60 | 50 | 40 | 30 | |
| 1000 | - | - | 120 | 100 | 70 | 60 | 40 | 30 | |
| 800 | - | - | 150 | 130 | 80 | 70 | 50 | 40 | |
| 700 | - | - | - | - | 100 | 90 | 50 | 40 | |
| 600 | - | - | - | - | 120 | 100 | 60 | 50 | |
| 550 | - | - | - | - | 130 | 110 | 60 | 50 | |
| 500 | - | - | - | - | - | - | 60 | 60 | |
| 450 | - | - | - | - | - | - | 80 | 70 | |
| 400 | - | - | - | - | - | - | 90 | 80 | |
| 350 | - | - | - | - | - | - | 100 | 90 | |
