【摘　要】　本文提出了卵形曲線中緩和曲線段上點位坐標(biāo)計算方案，推導(dǎo)了其計算過程及公式，并附實例。對始于高等級道路的平面卵形 曲線的測設(shè)有重要的指導(dǎo)作用。
　　高等級公路，特別是高速公路的平面線形設(shè)計形式很多，但歸根結(jié)底，它們都由直線、圓和緩和曲線 ( 我國《公路路線設(shè)計規(guī)范》中規(guī)定回旋線或稱菲涅爾螺旋線為緩和曲線線形 ) 等公路平面線形要素組合而成。各種平面線形設(shè)計形式，如基本形、卵形、 S 形、 C 形等等，對 高速公路更加適應(yīng)汽車轉(zhuǎn)彎時的行車軌跡，消除曲率突變，增進線形美觀及行車舒適感、安 全感都有極其重要的意義，但同時，也使曲線計算及野外測設(shè)更為復(fù)雜。本文針對在高速公路設(shè)計實際中出現(xiàn)的卵形曲線，推導(dǎo)了緩和曲線段點位坐標(biāo)計算方法及公式，為現(xiàn)場測設(shè)人員提供了有效的計算方案和測設(shè)指導(dǎo)。

一、回旋線的基本特征及坐標(biāo)計算
　　回旋線上，任意一點的曲率半徑 ρ 與該點至曲線起點的曲線長 l 之積為一常數(shù) ( 圖 1) 即

ρl =A²

(1)

或

式中， A ² 為回旋曲線常數(shù)，表征回旋曲線曲率變化緩急程度的量，稱 A 為回旋曲線參數(shù)。

　　　　圖　 1

1. 回旋曲線上任意一點坐標(biāo)計算
　　 由圖 1( 曲線右旋 ) ，取回旋線的起始點 ZH 處的切線方向為 x 軸，法線方向為 y 軸，任意一點的 切線方向方位角為緩和曲線角 β 。在緩和曲線上對任意一點 P 取微分

　 dl=ρdβ
　　 dx=dlcosβ
　　 dy=dlsinβ

　　考慮式 (1) 對 β 或 l 在區(qū)間 [0 ， β ］或 [0 ， l ］上積分后有下列關(guān)系式成立

l ² ＝ 2A ² β

(2)

(3)

(4)

或者

(5)

(6)

　　對于公路平面線形的基本形，其緩和曲線始于直線終于圓曲線，故緩和曲線的曲率半徑 ρ 變化于 ∞ ～ R ( 圓曲半徑 ) 。設(shè)緩和曲線段長度為 l_s , 則

　

(7)

(8)

2. 回旋線的幾何要素
　　見圖 1 ，回旋線的幾何要素計算公式如下：任意點 P 處的曲率半徑 ( 由式 (1) 和式 (2))

(9)

P 點的回旋曲線長

(10)

P 點的緩和曲線角 ( 切線方位角，由 (9) 式 )

(11)

　　上面導(dǎo)出了當(dāng)參數(shù)分別為 β 和 l 時的右旋緩和曲線上任一點的坐標(biāo)和幾何要素公式。顯然，緩和曲線左旋時 ( 圖 2) ，與右旋相比， x 坐標(biāo)公式一致，而 y 、 β 反號。若令 sign=±1 ，緩和曲線右旋時取 sign=1 ，左旋時取 sign=-1 ，則坐標(biāo)和方位角等符號量可統(tǒng)一 表示為：

(12)

　　　　　圖　 2

3. 回旋曲線的基本特征
　　 1. 幾何特性�；匦�曲線隨著曲線長度的增加，曲率按線性函數(shù)增加。起點處 l =0 ，曲率 l /ρ ＝ 0 ，終點處 l =l_s ，曲率 l /p ＝常數(shù)。

　　 2. 相似性。回旋曲線的形狀只有一種，回旋曲線參數(shù) A 即為放大系數(shù)。

二、卵形曲線形式及其緩和曲線段坐標(biāo)計算
　　按直線 - 緩和曲線 (A₁)- 圓曲線 (R₁)- 緩和曲線 - 圓曲線 (R₂)- 緩和曲線 (A₂)- 直線的順序組合構(gòu)成的平面線形形式 (R₁≠R₂) ，稱為卵形曲線 ( 圖 3) 。卵形曲線中，顯然圓曲線 - 緩和曲線 - 圓曲線段的緩和曲線坐標(biāo)計算是新的課 題，它成為整個卵形曲線計算的瓶頸。解決了這個問題，其他平面線形形式的曲線坐標(biāo)計算 也就迎刃而解了。

　　　　　圖　 3

　　解決問題的關(guān)鍵在于對兩圓曲線之間的緩和曲線的正確認(rèn)識： (1) 兩不等圓曲線之間的緩和 曲線仍是回旋線； (2) 該回旋線是沒有起點 (ρ ＝ 0) 的回旋線段。
　　于是，解決問題的方案是：第一，仍須確定哪端為回旋曲線的起點 (ρ ＝ 0) 端；第二，假定緩和曲線起點而套用平面曲線基本形計算回旋曲線任意一點坐標(biāo)及其方位角；第三，坐標(biāo)變換為大地 ( 或施工區(qū) ) 坐標(biāo)形式，而這正是高效測設(shè)曲線的現(xiàn)代發(fā)展所需要的坐標(biāo)形式。
　　我們知道，回旋曲線起點處曲率半徑 ρ =∞ ，隨著離曲線起點的曲線長度增加，曲率半徑由大變小。因此，卵形曲線兩圓之間回旋線的起點必在相接圓半徑較大的圓曲線那一端。由此再確定回旋線的右或左旋形式以確定獨立坐標(biāo)公式 (sign 的值 ) 的使用。根據(jù)回旋線上特征點的已知大地坐標(biāo)和獨立坐標(biāo)，可計算出坐標(biāo)變換參數(shù)，從而得到回旋線上任意一點的大地坐標(biāo)及其切向、法向方位角。
　　以圖 3 為例，因為 R ₁ >R₂ ，可見回旋線的起點在 R ₁ 圓曲線的那一端，顯然，該回旋線右旋。設(shè)回旋曲線起點為 O ，起點處切線方向為 x 軸，法線方向為 y 軸，建立獨立坐標(biāo)系。

O-YH 弧長： l ₁ ＝ A ² /R₁
　　 O-HY 弧長： l_s =l₁+l₀ ＝ A ² /R₂

這里， l ₀ =l_YH-HY 為緩和曲線段長度。
　　緩和曲線上任意點 P 至起點 O 的弧長為

l′ ＝ l ₁ +l

這里， l 為 P 至圓緩點 YH 的弧長。
　　將 l ₁ ,l_s,l′ 分別替代 l 代入式 (7) 、式 (8) 得到圓緩點 YH 、緩圓點 HY 、任意點 P 獨立坐 標(biāo)系坐標(biāo) x_YH ,y_YH,x_HY,y_HY,x_P,y_P( 注意，計算時式中 R ＝ R ₂ ) 。
　　設(shè)獨立坐標(biāo)系 xOy 原點 O 的大地坐標(biāo)為 (X₀,Y₀) ， x 軸的大地方位角為 α ₀ ，由 YH 、 HY 點的大地坐標(biāo)和獨立坐標(biāo)可分別反算直線 YH-HY 的坐標(biāo)方位角 α ₁ ,α₂ ，則

α ₀ =α₁-α₂

(13)

于是，獨立坐標(biāo)系中任意一點 P (x,y) 的大地坐標(biāo) X ， Y 為

X ＝ X ₀ +xcosα₀-ysinα₀

(14)

Y ＝ Y ₀ +xsinα₀+ycosα₀

(15)

這里， X ₀ ,Y₀ 可由點 YH 或 HY 已知坐標(biāo)數(shù)據(jù) ( 大地、獨立 ) 用上兩式求得。
　　 P 點切線大地方位角

α =α₀+signβ

(16)

　　法線大地方位角

τ ＝ (α-sign90)±180

(17)

三、算　例
　　 廣東某高速公路一段卵形曲線設(shè)計數(shù)據(jù)的特征點大地坐標(biāo)見表 1 ，緩和曲線參數(shù) A ＝ 30 0 ，緩和曲線長度 l ₀ =157.50 m ，兩相接圓曲半徑見圖 4 。求緩和曲線內(nèi)兩里程樁號點的大地坐標(biāo)及法向方位角。

圖 4

表 1 　部分設(shè)計數(shù)據(jù)

點　　號 )/( 里程樁號 )/(X/m)/(Y ／ m)/( 其他數(shù)據(jù)

圓緩點 (YH))/(K0+327.43)/(3 961.506)/(4 033.679)/(T1=59.95

交　點 (JD))/(K0+387.38)/(3 998.132)/(3 986.223)/(T2=97.98

緩圓點 (HY))/(K0+484.93)/(4 071.589)/(3 921.382)/(θ ＝ 10°54′13″

　　簡要計算如下：
　　因 R ₂ >R₁ ，可見回旋線起點在 R ₂ 端且左旋 (sign=-1) ，建立獨立坐標(biāo)系如圖 4 。則

l ₁ =A²/R₂=30 m
l_s=l₁+l₀=A²/R₁ ＝ 187.50 m

由此代入式 (7) 、式 (8) 并注意到 R ＝ R ₁ =480 得 HY ， YH 點獨立坐標(biāo)為

由直線 HY-YH 的大地方位角 α ₁ 和獨立方位角 α ₂ 得獨立坐標(biāo)軸 x 的大地方位角

α =α₁-α₂ ＝ 138°51′05″

則

X ₀ ＝ 4 094.145 　　 Y ₀ ＝ 3 901.605

于是緩和曲線上點 K ₀ +420 處、 K ₀ +380 處坐標(biāo)與方位角數(shù)據(jù)可得

　　　　　　　　　 K ₀ +420 ： (l′=l₁+484.93-420=94.93)

　　　　　 x =94.906 　　 y =-1.584 　　 β ＝ 2°52′06″

　　　　　　　 X =4 023.723 　 Y =3 965.247 　 τ ＝ 45°58′59″

K ₀ +380 ： (l′=l₁+484.93-380=134.93)

　　　　　　 x =134.792 　　 y =-4.546 　　 β ＝ 5°47′43″

　　　　　　　　 X =3 995.637 　 Y =3 993.723 　 τ ＝ 43°03′22″

四、結(jié)束語
　　卵形曲線中兩圓曲之間的緩和曲線段是螺旋回旋線不含起點的一部分。其上任意點的坐標(biāo)計 算仍可套用平面線形基本形中的緩和曲線點的坐標(biāo)公式。本文給出的卵形曲線中緩和曲線段 任一點的坐標(biāo)特別是大地坐標(biāo)及其法向方位角的解算方案及公式，既解決了測設(shè)數(shù)據(jù)的數(shù)值 計算問題，又適應(yīng)了野外測設(shè)使用大地坐標(biāo)設(shè)站靈活性強、效率高、節(jié)省外業(yè)工作量的現(xiàn)代 發(fā)展趨勢。使用可編程的便攜機非常方便快捷。