摘要:利用一緩和曲線算例,通過數(shù)學(xué)分析,推導(dǎo)出緩和曲線逐樁坐標(biāo)計(jì)算公式,此公式可作為道路測設(shè)中的范例來運(yùn)用,有很強(qiáng)的指導(dǎo)意義。

關(guān)鍵詞:緩和曲線、公式、逐樁坐標(biāo)

一、 引言

道路建設(shè)中,由于受地形或地質(zhì)影響,經(jīng)常需要改變線路方向,為滿足行車要求,往往要用曲線把兩條直線連接起來。曲線的構(gòu)成形式無外乎圓曲線和緩和曲線,本文以河北省沿海高速某曲線段為例推導(dǎo)出緩和曲線的逐樁坐標(biāo)計(jì)算公式,以方便圖紙的審核,滿足施工放樣的需求。本公式具有良好的操作性,方便施工、提高精度,可作為道路測設(shè)中的范例運(yùn)用。

二、公式推導(dǎo)

1 、實(shí)例數(shù)據(jù)

河北省沿海高速公路一緩和曲線(如圖): AB 段為緩和曲線段, A 為 ZH 點(diǎn), B 為 HY 點(diǎn), RB=800m ; A 點(diǎn)里程為 NK0+080 ,切線方位角為 θA=100 ° 00 ′ 24.1 ″,坐標(biāo)為 XA=4355189.493,YA=476976.267 ; B 點(diǎn)里程為 NK0+158.125 ,切線方位角為 θB=102 ° 48 ′ 15.6 ″,坐標(biāo)為 XB=4355174.669 , YB=477052.964 ,推求此曲線段內(nèi)任意點(diǎn)坐標(biāo)。

2 、公式推導(dǎo)及實(shí)例計(jì)算

方法一:弦線偏角法

1 )公式推導(dǎo)

由坐標(biāo)增量的計(jì)算方法我們不難理解,求一點(diǎn)坐標(biāo)可以根據(jù)其所在直線的方位角以及直線上另一點(diǎn)的坐標(biāo)和距待求點(diǎn)的距離。所以我們可以利用 ZH 點(diǎn),只要知道待求點(diǎn)距 ZH 點(diǎn)的距離(弦長 S )和此弦與 ZH 點(diǎn)切線方位角的夾角(轉(zhuǎn)角 a ),即可求出該點(diǎn)坐標(biāo)。

根據(jù)回旋線方程 C=RL ,用 B 點(diǎn)數(shù)據(jù)推導(dǎo)出回旋線參數(shù):

C=RLS=800*78.125=62500 ( LS 為 B 點(diǎn)至 ZH 點(diǎn)的距離)

設(shè)待求點(diǎn)距 ZH 點(diǎn)距離為 L

因回旋線上任意點(diǎn)的偏角 β0=L2/2RLS, 且轉(zhuǎn)角 a=β0/3 ,

可得該點(diǎn)轉(zhuǎn)角 a 。(曲線左轉(zhuǎn)時(shí) a 代負(fù)值)。

根據(jù)緩和曲線上的弧弦關(guān)系 S=L-L5/90R2LS2 ,

可以求出待求點(diǎn)至 ZH 點(diǎn)的弦長。

然后我們利用坐標(biāo)增量計(jì)算公式可以推導(dǎo)出緩和曲線任意點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算公式:

X=XA+S*cos ( θA+a ) =4355189.493+ ( L-L5/90R2LS2 ) *cos ( θA+L2/6RLS

Y=YA+S*sin ( θA+a ) =476976.267+ ( L-L5/90R2LS2 ) * sin ( θA+L2/6RLS

式中 θA=100 ° 0 ′ 24.1 ″

2 )實(shí)例計(jì)算

現(xiàn)在我們利用此公式計(jì)算樁號為 NK0+140 的坐標(biāo)

第一步,求出 L=140-80=60 米

第二步,求出 a=180L2/6 π RLS=0 ° 33 ′ 00.14 ″

第三步,求出 S=L-L5/90R2LS2=60-605/ ( 90*8002*78.1252 ) =59.998

第四步:將 a , S 值代入緩和曲線計(jì)算公式,可求出樁號為 NK0+160 點(diǎn)的坐標(biāo)為:

X=4355178.501 , Y=477035.249 。

同理,我們可求出其它樁號的坐標(biāo)。

方法二:坐標(biāo)轉(zhuǎn)換法

1 )公式推導(dǎo)

首先我們建立坐標(biāo)系,以 ZH 點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),其切線方向?yàn)?X 軸,過該點(diǎn)的半徑方向?yàn)?Y 軸(如圖)。根據(jù)緩和曲線參數(shù)方程:

x=L-L5/40R2LS2

y=L3/6RLS

計(jì)算出曲線上各點(diǎn)在此坐標(biāo)系下的坐標(biāo)( x , y )。
 

然后利用坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式

X=XA+xcosa-ysina

Y=YA+xsina+ycosa

將 (x,y) 代入該式,即可求出緩和曲線上各點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算公式:

X=4355189.493+ ( L-L5/40R2LS2 ) cosθA - ( L3/6RLS ) sinθA ;

Y=476976.267+ ( L-L5/40R2LS2 ) sinθA + ( L3/6RLS ) cosθA 。

式中 θA=100 ° 0 ′ 24.1 ″

2 )實(shí)例計(jì)算

現(xiàn)利用此公式計(jì)算樁號為 NK0+140 的坐標(biāo)。

第一步:求出 L=140-80=60 米

第二步:求出該點(diǎn)在新坐標(biāo)系下的坐標(biāo) x=59.995 ; y=0.576 。

第三步:將 L 、 x 、 y 的值代入公式可得 NK0+140 的坐標(biāo)為:

X=4355178.501 , Y=477035.249 。

同理可計(jì)算出曲線上其他對應(yīng)樁號的坐標(biāo):

NK0+100 : X=4355185.997 ; Y=476995.959 。

NK0+120 : X=4355182.375 ; Y=477015.628 。

為提高計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性,提高工作效率和減輕計(jì)算的工作量,在實(shí)際應(yīng)用中可以配合電子計(jì)算器使用,以下是 CASIO4800P 計(jì)算器計(jì)算緩和曲線的公式:

Lbl 0:{EG}:A “ X0 ” :B “ Y0 ” :C “ C0 ” :D “ 1/R1 ” :E “ 1/R2 ” :F “ DK1 ” :G “ DK2 ”

Lbl 1:{HOR}:H “ DKi”:O “ DL”:R”DR”:H>G => Goto 2 ◣

P= ( E-D ) /Abs(G-F):Q= Abs(H-F):I=P*Q

J=C+(I+2*D)*Q*90/ π◢

M=C+(I/4+2*D)*Q*45/2 π :N=C+(3*I/4+2*D)*Q*135/2/ π :K=C+(I/2+2*D)*Q*45/ π

X=A+Q*(cos C+4*( cos M + cos N)+2* cos K+ cos J)/12 ◢

Y=B+Q*(sinC+4*(sin M + sin N)+2* sin K+ sin J)/12 ◢

Goto 1 ◣

說明: A 為緩和曲線起點(diǎn)處的縱坐標(biāo)( X 坐標(biāo));

B 為緩和曲線起點(diǎn)處的橫坐標(biāo)( Y 坐標(biāo));

C 為緩和曲線起點(diǎn)處的切線方位角;

D 為緩和曲線起點(diǎn)處的曲率半徑;

E 為緩和曲線終點(diǎn)處的曲率半徑;

F 為緩和曲線起點(diǎn)處的里程;

G 為緩和曲線終點(diǎn)處的里程;

H 為緩和曲線中所要放樣點(diǎn)處的里程;

注意事項(xiàng): D 和 E 值分別為該緩和曲線前后兩段曲線元半徑的倒數(shù)(即 1 / 半徑),特別需要強(qiáng)調(diào)的是,當(dāng)曲線右轉(zhuǎn)的時(shí)候曲率半徑輸入時(shí)為正值,左轉(zhuǎn)的時(shí)候輸入時(shí)為負(fù)值, ZH 點(diǎn)的半徑輸“ 0 ”。

三、緩和曲線逐樁坐標(biāo)計(jì)算公式應(yīng)用

利用以上方法計(jì)算出對應(yīng)樁號的坐標(biāo)值,與圖紙給出的數(shù)值相比較,看兩者是否一致,以達(dá)到對圖紙審核的目的。在施工過程中,利用此方法可以提高工作效率和精度,在設(shè)計(jì)圖紙?zhí)峁┑狞c(diǎn)坐標(biāo)不能滿足實(shí)際要求時(shí),可以計(jì)算出任意點(diǎn)的坐標(biāo)值來解決實(shí)際問題,此計(jì)算方法在施工放樣等道路測設(shè)中起到一定作用。

四、結(jié)語

在沿海高速公路的道路測設(shè)中運(yùn)用此方法,提高了圖紙復(fù)核的速度,對現(xiàn)場的施工放樣和復(fù)核施工人員的測量資料都起到了一定的作用,通過實(shí)踐驗(yàn)證了此方法在道路測設(shè)中有較強(qiáng)的實(shí)用價(jià)值,值得推廣。