1975 年，著名科學(xué)家曼德布羅特(B. B.Mandelbrot )發(fā)表了劃時代的專著《分形：形態(tài)，機(jī)遇和維數(shù)》，這標(biāo)志著分形幾何學(xué)的誕生，該書于1982 年再版時易名為《大自然的分形幾何學(xué)》。 
　　曼德布羅特曾給出分形的定義：分形是局部與整體在某種意義下存在相似性的形狀。這強(qiáng)調(diào)了分形的自相似性，但把某些分形排除在外。 
　　后來，英國數(shù)學(xué)家法爾科內(nèi)(Falconer ，1991 ；1999) 提出羅列分形集的性質(zhì)，來給分形下定義。如果集合F 具有下面所有的或大部分的性質(zhì)，它就是分形： 
　　1．F 具有精細(xì)的結(jié)構(gòu)，即有任意小尺度的不規(guī)則的細(xì)節(jié)； 
　　2．F 具有如此的不規(guī)則，以致于它的局部或整體都不能用微積分的或傳統(tǒng)的幾何語言來描述； 
　　3．通常F 具有某種自相似或自仿射性質(zhì)，這可以是統(tǒng)計(jì)意義上的； 
　　4．F 的“分形維數(shù)”(用某種方式定義的) 通常嚴(yán)格大于它的拓?fù)渚S數(shù)； 
　　5．在許多有趣的情況下，F(xiàn) 具有非常簡單的、可能是由迭代給出的定義； 
　　6．通常F 具有“自然”的外貌。 
　　有必要明確，分形的不規(guī)則性并非無序，而是存在層次結(jié)構(gòu)(hierarchical organization) 按一系列尺度( scales) 在幾何形態(tài)上自身重復(fù)，即這種不規(guī)則的形態(tài)在層層尺度上是相似的，從而可稱之為自相似性( self-similarity) 或標(biāo)度不變性(scale-sinvariance) 。  
　　順便說明，自相似即是自身進(jìn)行相似變換，也稱尺度變換或標(biāo)度變換(scale ransformation) ，屬于線性變換。這樣的分形，包括自相似分形，統(tǒng)稱為標(biāo)度分形(scaling fractal ) ，本文所討論的分形均在此范圍內(nèi)。若是非線性變換，則稱為非標(biāo)度分形(non-scaling fractal ) (曼德布羅特，1998) 。此外，在物理學(xué)中兩個變量之間只要滿足標(biāo)度關(guān)系就被稱為標(biāo)度行為，因而標(biāo)度分形具有標(biāo)度行為，其分形維數(shù)可稱為標(biāo)度指數(shù)(scaling exponent) 。 
　　自然界當(dāng)中，閃電、樹枝、花菜、海岸線和海螺紋，其形態(tài)就具有分形特征。當(dāng)然，這些現(xiàn)實(shí)中的自然形態(tài)只是在一定尺度范圍內(nèi)符合分形特征。而分形是數(shù)學(xué)上的幾何抽象，具備無窮小尺度的層次結(jié)構(gòu)。這正如歐氏幾何的直線和平面是數(shù)學(xué)抽象，在現(xiàn)實(shí)中是找不到的。