振動(dòng)力學(xué)是力學(xué)的一個(gè)重要組成部分，但關(guān)于其歷史發(fā)展尚無(wú)全面的論述，相關(guān)內(nèi)容散見(jiàn)于科技史、力學(xué)史、數(shù)學(xué)史、聲學(xué)史、材料強(qiáng)度史以及一些專(zhuān)題性研究。本文擬對(duì)振動(dòng)力學(xué)的發(fā)展歷史作簡(jiǎn)要而不失全面的概述，希望通過(guò)對(duì)歷史發(fā)展的回顧與分析，揭示振動(dòng)力學(xué)的學(xué)科特點(diǎn)和發(fā)展規(guī)律，進(jìn)而對(duì)振動(dòng)力學(xué)的研究和教學(xué)有所啟發(fā)和助益。振動(dòng)力學(xué)內(nèi)容豐富，這里對(duì)于振動(dòng)問(wèn)題的早期研究簡(jiǎn)略帶過(guò)，也不涉及振動(dòng)力學(xué)的最新進(jìn)展。

1振動(dòng)力學(xué)的萌芽——振動(dòng)現(xiàn)象及物理基礎(chǔ)

人類(lèi)對(duì)振動(dòng)現(xiàn)象的認(rèn)識(shí)有悠久的歷史。早在公元前6世紀(jì)，Pythagoras發(fā)現(xiàn)了較短的弦發(fā)出較高的音，將弦長(zhǎng)縮短一半可發(fā)出高一音階的音符；戰(zhàn)國(guó)時(shí)期的古人已定量地總結(jié)出弦線(xiàn)發(fā)音與長(zhǎng)度的關(guān)系，將基音弦長(zhǎng)分為三等份，減去或增加一份可確定相隔五度音程的各個(gè)音。公元前6世紀(jì)成書(shū)的《舊約·約書(shū)亞記》記載共振現(xiàn)象，城墻在齊聲吶喊中塌陷；成書(shū)于戰(zhàn)國(guó)時(shí)期的《莊子·徐無(wú)鬼》更明確記載了共振現(xiàn)象“鼓宮宮動(dòng)，鼓角角動(dòng)，音律同矣”；成書(shū)于公元2～5世紀(jì)的《猶太法典》第二章也描述一種共振現(xiàn)象，“公雞把頭伸進(jìn)空的玻璃容器內(nèi)啼鳴致使容器破碎”。

在振動(dòng)力學(xué)研究興起之前，有兩個(gè)典型的振動(dòng)問(wèn)題引起注意，即弦線(xiàn)振動(dòng)和單擺擺動(dòng)。1636年Mersenne在關(guān)于弦的樂(lè)音著作中報(bào)告了弦振動(dòng)的實(shí)驗(yàn)研究，測(cè)定了長(zhǎng)弦振動(dòng)頻率，以此推斷出密度和張力相同且發(fā)出諧音的短弦頻率；1638年Galileo在其名著《兩門(mén)新科學(xué)的對(duì)話(huà)》中明確弦線(xiàn)振動(dòng)頻率與其長(zhǎng)度、密度和張力的關(guān)系；17世紀(jì)末Sauveur完成了大量實(shí)驗(yàn)工作，測(cè)定弦線(xiàn)振動(dòng)頻率并注意到節(jié)點(diǎn)的存在，及有節(jié)點(diǎn)時(shí)弦線(xiàn)振動(dòng)頻率為基頻的整數(shù)倍。對(duì)單擺擺動(dòng)的研究起源于Galileo，他在1581年發(fā)現(xiàn)擺的等時(shí)性，在1638年的著作中用落體公式推得擺動(dòng)周期正比于擺長(zhǎng)與重力加速度比的平方根，但沒(méi)得到正確的比例系數(shù)。他還從運(yùn)動(dòng)量守恒的角度討論擺的振動(dòng)。1673年Huygens把擺動(dòng)視為圓周運(yùn)動(dòng)的一部分，利用幾何方法得到單擺振動(dòng)周期的正確公式，提出擺動(dòng)中心的概念，從而將形狀復(fù)雜的擺簡(jiǎn)化為單擺。1687年Newton考察了單擺在有阻尼介質(zhì)中的運(yùn)動(dòng)。從現(xiàn)代觀點(diǎn)考慮，弦線(xiàn)振動(dòng)是無(wú)窮多自由度連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)，單擺擺動(dòng)是單自由度離散系統(tǒng)的振動(dòng)，振幅不大時(shí)都可認(rèn)為是線(xiàn)性的。單擺振動(dòng)比較簡(jiǎn)單，對(duì)后來(lái)線(xiàn)性振動(dòng)的發(fā)展影響不大，弦線(xiàn)振動(dòng)則成為18世紀(jì)振動(dòng)力學(xué)研究的中心問(wèn)題之一。

振動(dòng)力學(xué)的物理基礎(chǔ)在17世紀(jì)已經(jīng)奠定。1678年Hooke提出彈性定律，建立了彈性體變形與恢復(fù)力間的線(xiàn)性關(guān)系，引入了振動(dòng)系統(tǒng)的基本組成部分——彈簧。1678年Newton在其劃時(shí)代的《自然哲學(xué)之?dāng)?shù)學(xué)原理》中建立了運(yùn)動(dòng)變化與受力間的關(guān)系，使振動(dòng)問(wèn)題的動(dòng)力學(xué)研究成為可能，他也定義了振動(dòng)系統(tǒng)的另一基本組成部分——質(zhì)量，假設(shè)了介質(zhì)阻力與速度及速度平方成正比，形成阻尼概念的雛形。

2線(xiàn)性振動(dòng)理論——數(shù)學(xué)工具的引入

17世紀(jì)的研究者奠定了處理振動(dòng)問(wèn)題的物理基礎(chǔ)并提供了數(shù)學(xué)工具；到了18世紀(jì)，振動(dòng)力學(xué)已從物理學(xué)中獨(dú)立出來(lái)。最主要的成就為線(xiàn)性振動(dòng)理論的形成，它是與數(shù)學(xué)中的常微分方程和偏微分方程同步發(fā)展的，這一時(shí)期對(duì)振動(dòng)力學(xué)作出了貢獻(xiàn)的研究者幾乎都是數(shù)學(xué)家。

離散系統(tǒng)振動(dòng)理論在18世紀(jì)中葉基本成熟。1727年JohnBernoulli研究無(wú)重量彈性弦上等距分布等質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)時(shí)，建立無(wú)阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)模型并解出解析解。1728年Euler考察了擺在有阻尼介質(zhì)中的運(yùn)動(dòng)建立并求解了相應(yīng)的二階常微分方程；1739年他研究了無(wú)阻尼簡(jiǎn)諧受迫振動(dòng)，從理論上解釋了共振現(xiàn)象；1747年他在研究空氣中聲傳播時(shí)也建立了等剛度彈簧聯(lián)結(jié)等質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的模型，Euler不僅列出運(yùn)動(dòng)微分方程并求出精確解，而且發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)的振動(dòng)是各簡(jiǎn)諧振動(dòng)振型的疊加，特定振型的出現(xiàn)取決于初始條件。1762年Lagrange建立了離散系統(tǒng)振動(dòng)的一般理論，但對(duì)頻率方程有等根情形的結(jié)論有錯(cuò)誤，直到近一個(gè)世紀(jì)后才分別由Weierstrass于1858年、Сомов于1859年和Routh于1877年更正。此后離散系統(tǒng)振動(dòng)理論仍有若干重要工作，1852Sylvester證明了頻率方程僅有實(shí)根；1872年Jordan給出振型坐標(biāo)一種新的簡(jiǎn)潔推導(dǎo)；1873年Rayleigh發(fā)現(xiàn)了振動(dòng)系統(tǒng)固有頻率隨質(zhì)量變化的規(guī)律并引入耗散函數(shù)描述阻尼特性。

弦線(xiàn)振動(dòng)理論在18世紀(jì)建立。1746年D'Alembert在研究均勻弦線(xiàn)振動(dòng)時(shí)，同時(shí)考慮弦線(xiàn)位移隨時(shí)間和弦上位置的變化導(dǎo)出描述弦線(xiàn)振動(dòng)的波動(dòng)方程并求出行波解。1748年Euler沿用D'Alembert的方法處理了非光滑初始條件。1753年Daniel Bernoulli用無(wú)窮多個(gè)振動(dòng)模態(tài)的疊加得到弦線(xiàn)振動(dòng)的駐波解，但其數(shù)字處理不夠嚴(yán)格。1759年Lagrange從駐波解出發(fā)推導(dǎo)出行波解，從而在物理上充分理解了均勻弦線(xiàn)的振動(dòng)規(guī)律，更有效的數(shù)學(xué)工具直到1811年Fourier提出函數(shù)的三角級(jí)數(shù)展開(kāi)才問(wèn)世。1762年Euler和1763年D'Alembert分別研究了非均勻弦線(xiàn)和重弦線(xiàn)的振動(dòng)。

其他連續(xù)體的振動(dòng)問(wèn)題也相繼提出。1744年Euler研究了梁的橫向振動(dòng)，導(dǎo)出了自由、鉸支和固定三類(lèi)邊界條件下的振形函數(shù)與頻率方程，1751年Daniel Bernoulli也研究了類(lèi)似問(wèn)題，但他們都忽略截面轉(zhuǎn)動(dòng)和剪切變形的影響，直到1894年和1916年才分別由Rayleigh和Timoshenko加以補(bǔ)充修正。1759年Euler將膜視為兩組互相正交的弦而解決了矩形膜的振動(dòng)問(wèn)題，但處理圓形膜的嘗試未能成功，直到1829年P(guān)oisson才完全解決了膜振動(dòng)問(wèn)題。1789年Jakob Bernoulli將板視為兩組互相正交的梁導(dǎo)出其運(yùn)動(dòng)微分方程，1787年Chladni對(duì)玻璃和金屬板振動(dòng)波節(jié)線(xiàn)的實(shí)驗(yàn)極大地促進(jìn)了板和殼振動(dòng)的研究，1811年Germain不甚嚴(yán)格地作出對(duì)實(shí)驗(yàn)的理論解釋?zhuān)琍oisson于1814年和Kirchhoff于1850年得到了改進(jìn)的結(jié)果，1828年Navier建立板彎曲振動(dòng)的嚴(yán)格理論并研究了三維彈性體的振動(dòng)。三維彈性體振動(dòng)理論由Poisson于1829年和Clebsch于1862年分別建立，作為特例，Poisson解決了彈性體的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)問(wèn)題(對(duì)扭振的研究更早于1784年由Coulomb進(jìn)行)。此外，1876年P(guān)ochhammer研究了考慮橫向變形的圓柱縱向振動(dòng)，1891年Lamb研究了圓柱形殼和球殼的伸長(zhǎng)性振動(dòng)。

對(duì)于受外激勵(lì)響應(yīng)的研究也逐步成熟。1807年Young提出了載荷的動(dòng)力效應(yīng)。1829年P(guān)oncelet研究了桿在沖擊作用下的軸向振動(dòng)，并發(fā)現(xiàn)脈沖力能引起桿的共振，可用以說(shuō)明一隊(duì)士兵用整齊步伐通過(guò)懸索橋的危險(xiǎn)性。1834年Duhamel將任意外激勵(lì)視為一系列沖量激勵(lì)的疊加，從而建立了分析強(qiáng)迫振動(dòng)的普遍公式。1849年Stokes發(fā)現(xiàn)了初位移激勵(lì)與初速度激勵(lì)兩者響應(yīng)的聯(lián)系，并且由此對(duì)外激勵(lì)得到與Duhamel相同的結(jié)果。1883年Saint-Venant研究桿件振動(dòng)時(shí)也有類(lèi)似的結(jié)果。一般彈性體受迫振動(dòng)的數(shù)學(xué)理論在1894年由Poincaré基本建立，1906年Hilbert和Picard分別借助積分方程完成。

振動(dòng)力學(xué)的經(jīng)典線(xiàn)性理論比較集中地匯集在兩部力學(xué)名著之中，其一是Rayleigh的《聲的理論》(1887，1894)，其二是Love的《論彈性的數(shù)學(xué)理論》(1892，1906，1920，1927)。

3振動(dòng)問(wèn)題的近似解法——工程應(yīng)用的要求

19世紀(jì)之前的振動(dòng)力學(xué)屬于自然科學(xué)甚至數(shù)學(xué)科學(xué)，到19世紀(jì)后期則兼有技術(shù)科學(xué)的屬性。工程對(duì)振動(dòng)力學(xué)的需求有其自身的發(fā)展邏輯。隨著工業(yè)革命的發(fā)展，工程界面臨與航海運(yùn)輸和動(dòng)力機(jī)械有關(guān)的復(fù)雜系統(tǒng)振動(dòng)問(wèn)題。如多缸往復(fù)式蒸氣機(jī)的發(fā)明要求解決動(dòng)平衡問(wèn)題。1892年Yarrow研究了蒸氣機(jī)的動(dòng)平衡和船舶振動(dòng)問(wèn)題，1896年Крылов建立了船舶在波浪中振動(dòng)的一般理論，1897年Macalpine討論了船舶的消振，1904年Schlick發(fā)明了利用陀螺原理的船舶消振器。另一類(lèi)與航海有關(guān)的振動(dòng)問(wèn)題是螺旋槳軸的受扭振動(dòng)。1901年Frith和Lamb建立了二和三質(zhì)量系統(tǒng)扭振的基本理論，1902年Frahm進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究并著重考慮了共振問(wèn)題。蒸氣汽輪機(jī)的發(fā)展使轉(zhuǎn)速達(dá)到每分鐘數(shù)千轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)子振動(dòng)問(wèn)題顯得十分突出。早在1869年Rankine就已研究了軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，1883年Dunkerly和Peynolds研究了轉(zhuǎn)軸的弓形?旋和振動(dòng)，1880年DeLaval進(jìn)行了轉(zhuǎn)速高達(dá)30kr/min的汽輪機(jī)轉(zhuǎn)子試驗(yàn)，1895年Fo¨ppl進(jìn)行了帶圓盤(pán)軸高速旋轉(zhuǎn)的理論和實(shí)驗(yàn)研究，1916年Stodola和1919年Jeffcott也獨(dú)立地得到類(lèi)似結(jié)果，1918年Stodola研究了陀螺效應(yīng)對(duì)臨界轉(zhuǎn)速的影響。

工程問(wèn)題的需要促進(jìn)了各種近似方法的發(fā)展。1894年Dunkerley給出估算多圓盤(pán)軸橫向振動(dòng)基頻的簡(jiǎn)單實(shí)用方法，即Dunkerley法。1898年Vianell在計(jì)算壓桿的屈曲載荷時(shí)提出逐步近似方法，1904年Stodola將該方法推廣用于計(jì)算軸桿的主頻率，發(fā)展為振型迭代法。1902年Frahm研究軸扭振的方法相繼被Holzer于1907年、Guember于1912年和Tolle于1921年改進(jìn)為表格化形式。類(lèi)似思路分別被Dungen于1928年和Hohenemser于1933年應(yīng)用于集中質(zhì)量梁，1933年被Hohenemser和Prager應(yīng)用于離散化的連續(xù)梁。該方法因1944年Myklestad和1945年P(guān)rohl的工作而稱(chēng)為Myklestad-Prohl方法。1950年Thomson用矩陣重新表述該方法而形成傳遞矩陣法。

相對(duì)獨(dú)立發(fā)展的關(guān)于近似解法的理論結(jié)果也應(yīng)用于工程問(wèn)題。1873年Rayleigh基于動(dòng)能和勢(shì)能的分析給出了確定系統(tǒng)基頻的近似方法，即Rayleigh法。他還分別于1899年和1911年用這種方法計(jì)算復(fù)雜物系的基頻。1909年Ritz推廣了Rayleigh法使之可同時(shí)求幾個(gè)低階固有頻率，他的工作被Галеркин于1915年進(jìn)一步推廣。1914年Stodola用Rayleigh法確定汽輪機(jī)葉片振動(dòng)基頻，1925年Oehler用Ritz法研究汽輪機(jī)葉片振動(dòng)，得到與實(shí)驗(yàn)相符的結(jié)果。1943年Courant基于最小勢(shì)能原理，采用三角形單元組成分區(qū)近似函數(shù)討論柱體扭轉(zhuǎn)。1956年Turner等把處理?xiàng)U件結(jié)構(gòu)的方法用于連續(xù)體力學(xué)問(wèn)題，形成有限元法，60年代以來(lái)廣泛應(yīng)用于振動(dòng)問(wèn)題，成為處理工程結(jié)構(gòu)振動(dòng)問(wèn)題的重要近似方法

4非線(xiàn)性振動(dòng)——多學(xué)科的交叉

人類(lèi)對(duì)非線(xiàn)性振動(dòng)現(xiàn)象的觀察可以追溯到1673年Huygens對(duì)擺的研究。他注意到兩類(lèi)非線(xiàn)性現(xiàn)象:擺的大幅振動(dòng)不具有等時(shí)性，以及輕微不同步擺鐘存在頻率拖帶。1749年Euler研究的壓桿失穩(wěn)涉及平衡點(diǎn)的分岔，也是非線(xiàn)性系統(tǒng)的典型特征。除Helmholtz和Rayleigh對(duì)頻率拖帶的研究外，對(duì)非線(xiàn)性振動(dòng)的系統(tǒng)研究是在19世紀(jì)后期為解決天體力學(xué)問(wèn)題而開(kāi)始的，到本世紀(jì)20年代又受無(wú)線(xiàn)電技術(shù)的刺激，在定性理論和解析解法方面都有大量成果。到70年代后期，與工程應(yīng)用日漸普及的同時(shí)，非線(xiàn)性振動(dòng)理論發(fā)展成為以混沌問(wèn)題為核心的非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)，成為新的交叉科學(xué)即非線(xiàn)性科學(xué)的重要組成部分。

通常認(rèn)為線(xiàn)性振動(dòng)系統(tǒng)的參數(shù)均為常值。由于參數(shù)周期變化而激起的振動(dòng)即參數(shù)振動(dòng)雖為線(xiàn)性振動(dòng)，但在研究方法上更接近非線(xiàn)性振動(dòng)。1831年Faraday首先觀察到參數(shù)振動(dòng)現(xiàn)象，充液容器鉛垂振動(dòng)時(shí)液體自由表面波動(dòng)的周期為容器振動(dòng)周期的兩倍。1859年Melde和1883年Rayleigh分別進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究。1868年Mathieu在研究橢圓薄膜振動(dòng)時(shí)涉及以余弦函數(shù)為系數(shù)的常微分方程。1877年以偶周期函數(shù)為系數(shù)的方程出現(xiàn)在Hill對(duì)月球運(yùn)動(dòng)的研究中，他用冪級(jí)數(shù)展開(kāi)方法證明了月球近地點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的周期性。1883年Floquet建立了系數(shù)為同周期函數(shù)的高階線(xiàn)性微分方程周期解的存在性及其他性質(zhì)的完整理論。1885年P(guān)oincaré證明了Hill所用展開(kāi)方法的收斂性。

在Hill工作的影響下，Poincaré為非線(xiàn)性問(wèn)題的研究開(kāi)辟了一個(gè)全新的方向——定性理論。在1881～1886年的一系列論文中，Poincaré討論了二階系統(tǒng)奇點(diǎn)的分類(lèi)，提出了極限環(huán)的概念，定義了奇點(diǎn)和極限環(huán)的指數(shù);1885年他研究了分岔問(wèn)題。1901年Bendixson提出了極限環(huán)不存在的判據(jù)并改進(jìn)了Poincaré關(guān)于極限環(huán)存在判據(jù)。1912年及隨后幾年，Birkhoff對(duì)動(dòng)力系統(tǒng)一般理論作了大量奠基性工作，動(dòng)力系統(tǒng)的一般數(shù)學(xué)定義則是由Марков于1931年和Whitney于1932年分別提出的。1948年Hopf探討了由定態(tài)變?yōu)橹芷谶\(yùn)動(dòng)的機(jī)制，匯失穩(wěn)變成源并產(chǎn)生極限環(huán)，即Hopf分岔。Poincaré開(kāi)創(chuàng)的這個(gè)方向已發(fā)展成為微分方程定性理論、分岔理論、拓?fù)鋭?dòng)力學(xué)、微分動(dòng)力學(xué)等數(shù)學(xué)分支。

振動(dòng)系統(tǒng)定性理論的一個(gè)特殊而重要的方面是穩(wěn)定性理論。關(guān)于平衡位置的穩(wěn)定性的研究開(kāi)始很早。1644年Torricelli發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)重心處于最低位置時(shí)的平衡是穩(wěn)定的;1788年Lagrange指出，保守系統(tǒng)勢(shì)能在某個(gè)平衡位置有孤立極小值則該平衡位置穩(wěn)定，這個(gè)結(jié)論以后被Dirichlet嚴(yán)格證明。1879年Kelvin和Tait研究了陀螺力和耗散力對(duì)平衡點(diǎn)穩(wěn)定性的影響，其結(jié)果由Четаев用Ляпунов直接法給予嚴(yán)格證明而稱(chēng)為Kelvin-Tait-Четаев定理。除平衡穩(wěn)定性外，Maxwell分析過(guò)蒸汽機(jī)調(diào)速器和鐘表機(jī)構(gòu)的穩(wěn)定性，1887年Routh給出循環(huán)運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的判別法。1892年Ляпунов奠定了穩(wěn)定性理論的基礎(chǔ)，他給出了穩(wěn)定性的數(shù)學(xué)定義，提出了處理穩(wěn)定性問(wèn)題的兩種方法。第一種方法需要求出擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)解，第二種方法完全是定性的，可直接根據(jù)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程判斷，故又稱(chēng)為直接法。1834年Четаев給出了不穩(wěn)定性的判別方法。由于Ляпунов的工作，按一次近似判斷穩(wěn)定性才具有嚴(yán)格的理論依據(jù)，而線(xiàn)性系統(tǒng)已分別由Routh于1875年基于Cauchy的工作和Hurwitz于1895年基于Hermite的工作得到等價(jià)的穩(wěn)定性判據(jù)。目前運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性則已成為一般力學(xué)的組成部分。穩(wěn)定性理論也是自動(dòng)控制和系統(tǒng)工程的理論基礎(chǔ)。

非線(xiàn)性振動(dòng)的另一重要方面是近似解析方法的研究。1830年P(guān)oisson在研究擺振動(dòng)時(shí)提出了攝動(dòng)法的基本思想，他將解展為小參數(shù)的冪級(jí)數(shù)，但長(zhǎng)期項(xiàng)的存在會(huì)使該方法失效。1883年Lindstedt把振動(dòng)頻率也按小參數(shù)展開(kāi)，解決了長(zhǎng)期項(xiàng)問(wèn)題，1890年P(guān)oincaré證明了Lindstedt的解是漸近的。1918年Duffing在研究硬彈簧受迫振動(dòng)時(shí)采用了諧波平衡法和逐次迭代法。1920年vanderPol提出了慢變系數(shù)法的基本思想，1934年Крылов和Боголюбов將其發(fā)展為適用于一般弱非線(xiàn)性系統(tǒng)的平均法，1947年又發(fā)展為可求任意階近似的漸近法。Боголюбов和Митропольскиǔ對(duì)此方法進(jìn)行擴(kuò)充和證明，并在1955年由Митропольскиǔ推廣到非定常振動(dòng)，形成KBM法。1957年Sturrock在研究電等離子體非線(xiàn)性效應(yīng)時(shí)，用多個(gè)不同時(shí)間尺度描述振動(dòng)而提出多尺度法，1963年Cole和Kevorkian給出另一種形式的多尺度法，Nayfeh在發(fā)展和應(yīng)用多尺度法方面做了大量工作。非線(xiàn)性振動(dòng)近似解析方法的發(fā)展已不限于振動(dòng)力學(xué)的范圍，而成為應(yīng)用數(shù)學(xué)的一分支，其結(jié)果廣泛應(yīng)用于諸多物理和力學(xué)分支。

非線(xiàn)性振動(dòng)的研究使得人們對(duì)振動(dòng)機(jī)制有了新的認(rèn)識(shí)。除自由振動(dòng)、受迫振動(dòng)和參數(shù)振動(dòng)以外，還有一類(lèi)廣泛存在的振動(dòng)，即自激振動(dòng)。1925年Cartan父子研究了無(wú)線(xiàn)電技術(shù)中出現(xiàn)的一類(lèi)二階非線(xiàn)性微分方程的周期解。1926年vanderPol建立一類(lèi)描述三極電子管振蕩的方程，稱(chēng)為vanderPol方程，他用圖解法證明孤立閉軌線(xiàn)的存在，又用慢變系數(shù)法得到閉軌線(xiàn)的近似方程。1928年Lienard證明以Cartan方程和vanderPol方程為特例的一類(lèi)方程存在閉軌線(xiàn)，1929年Андронов闡明了vanderPol的自激振動(dòng)對(duì)應(yīng)于Poincaré研究過(guò)的極限環(huán)。自激振動(dòng)也在其他工程系統(tǒng)中出現(xiàn)，例如，1932年DenHar-tog用自激振動(dòng)解釋輸電線(xiàn)的舞動(dòng)，1933年Baker的工作表明干摩擦?xí)�誘發(fā)自激振動(dòng)。

非線(xiàn)性振動(dòng)的研究也促使人們認(rèn)識(shí)一種新的運(yùn)動(dòng)形式，即混沌振動(dòng)。1945年Cartwright和Little-wood對(duì)受迫vanderPol振子及Levinson對(duì)一類(lèi)更簡(jiǎn)化的模型分析表明，存在一類(lèi)奇異的解，兩個(gè)不同穩(wěn)態(tài)解可有任意長(zhǎng)時(shí)間相同的瞬態(tài)過(guò)程，這表明運(yùn)動(dòng)具有不可預(yù)測(cè)性。60年代上田和林千博等在尋找Duffing方程諧波解時(shí)，得到一種混亂貌似隨機(jī)且對(duì)初值非常敏感的解，但他們的工作直到1973年才發(fā)表。混沌的研究歷史詳見(jiàn)文獻(xiàn)。

5隨機(jī)振動(dòng)——科學(xué)與技術(shù)的相互促進(jìn)

隨機(jī)振動(dòng)的發(fā)展典型地反映了現(xiàn)代技術(shù)對(duì)科學(xué)的促進(jìn)。航空和航天技術(shù)的需要促使人們用概率統(tǒng)計(jì)方法研究承受非確定性載荷的系統(tǒng)的響應(yīng)、穩(wěn)定性和可靠性等，從而將當(dāng)時(shí)已有的隨機(jī)過(guò)程、統(tǒng)計(jì)力學(xué)、湍流理論等綜合應(yīng)用于工程問(wèn)題，形成隨機(jī)振動(dòng)這一振動(dòng)力學(xué)的重要組成部分。

隨機(jī)振動(dòng)的物理數(shù)學(xué)基礎(chǔ)早在30年代已基本奠定。1827年Brown對(duì)懸浮在水中微小花粉粒子雜亂運(yùn)動(dòng)的觀察，為最早的系統(tǒng)對(duì)隨機(jī)激勵(lì)響應(yīng)的實(shí)驗(yàn)研究。19世紀(jì)后期Maxwell和Boltzmann用統(tǒng)計(jì)方法描述系統(tǒng)可能狀態(tài)和達(dá)到的概率，但沒(méi)有考慮統(tǒng)計(jì)隨時(shí)間的演化。1919年Rayleigh用“隨機(jī)振動(dòng)”一詞描述一等價(jià)于平面隨機(jī)行走的聲學(xué)問(wèn)題。用隨機(jī)方法研究動(dòng)力學(xué)行為始于1905年，Einstein從理論上解釋了Brown運(yùn)動(dòng)，1915年Smoluchowski擴(kuò)展了Einstein的結(jié)果并進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究。1908年Langevin導(dǎo)出一含有隨機(jī)項(xiàng)的微分方程，成為隨機(jī)微分方程的第一個(gè)例子，F(xiàn)okker于1915年、Plank于1917年、Колмогоров于1931年、伊藤于1946年都對(duì)隨機(jī)微分方程的研究作出貢獻(xiàn)。1933年Андронов等應(yīng)用隨機(jī)微分方程討論隨機(jī)擾動(dòng)下一般動(dòng)力系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)。1920年Taylor引入相關(guān)函數(shù)概念，Wiener于1930年和Хинчин于1934年分別建立了譜的理論，這些數(shù)學(xué)工具首先應(yīng)用于通訊和控制系統(tǒng)而不是結(jié)構(gòu)和機(jī)械的強(qiáng)度分析，因?yàn)楣こ碳夹g(shù)尚無(wú)此要求。

隨機(jī)振動(dòng)的研究始于50年代中期。由于噴氣和火箭技術(shù)的發(fā)展在航空和航天工程中提出一系列問(wèn)題，如大氣湍流引起的飛機(jī)顫振，噴氣噪音導(dǎo)致的飛行器表面結(jié)構(gòu)聲疲勞，傳動(dòng)系統(tǒng)中滾動(dòng)件不光滑而嚙合不完善的損傷積累，火箭推進(jìn)中運(yùn)載工具有效負(fù)載可靠性等，都促使研究者運(yùn)用已有數(shù)學(xué)工具，并借鑒這些工具在通訊等學(xué)科中的應(yīng)用以解決面臨的工程問(wèn)題。Miles于1954年和Powell于1955年分別研究了飛行器結(jié)構(gòu)顫振損傷積累的時(shí)間無(wú)規(guī)和空間漲落。1955年Morrow和Muchmore把譜分析引進(jìn)隨機(jī)振動(dòng)并建立了結(jié)構(gòu)隨機(jī)響應(yīng)等基本概念。1957年Erigen研究了連續(xù)體的隨機(jī)振動(dòng)并討論振型相關(guān)性。1958年Crandall主編《隨機(jī)振動(dòng)》的出版標(biāo)志著隨機(jī)振動(dòng)這一振動(dòng)力學(xué)分支的誕生。

60年代以來(lái)，隨機(jī)振動(dòng)在應(yīng)用和理論方面都發(fā)展迅速。振動(dòng)測(cè)試技術(shù)是隨機(jī)振動(dòng)應(yīng)用的前提。在70年代之前基本采用模擬式儀器。由于計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅速發(fā)展及1965年Cooley和Tukky發(fā)明快速Fourier變換算法，70年代以來(lái)數(shù)字式測(cè)試設(shè)備廣泛采用。在此基礎(chǔ)上系統(tǒng)的識(shí)別與診斷及隨機(jī)振動(dòng)實(shí)驗(yàn)技術(shù)有很大發(fā)展，應(yīng)用范圍也愈來(lái)愈廣泛，由飛機(jī)和火箭擴(kuò)展到汽車(chē)、船舶及高層建筑、海洋工程結(jié)構(gòu)等。在理論研究中，非線(xiàn)性隨機(jī)振動(dòng)備受重視。1959年Caughey研究提出隨機(jī)等效線(xiàn)性化方法，而該方法在1954年便被Booton應(yīng)用于控制系統(tǒng)。1961年Crandall建立隨機(jī)攝動(dòng)法。1966年以后，Stratonovich，Khasminskii，Papanicolaou與Kohler等發(fā)展了隨機(jī)平均法。

6結(jié)語(yǔ)

振動(dòng)力學(xué)在其發(fā)展過(guò)程中逐漸由基礎(chǔ)科學(xué)轉(zhuǎn)化為基礎(chǔ)科學(xué)與技術(shù)科學(xué)的結(jié)合。工程問(wèn)題的需要使振動(dòng)力學(xué)的發(fā)展成為必需，而測(cè)試和計(jì)算技術(shù)的進(jìn)步又為振動(dòng)力學(xué)的發(fā)展和應(yīng)用提供了可能性。除與技術(shù)問(wèn)題的結(jié)合以外，學(xué)科的交叉不斷為振動(dòng)力學(xué)的發(fā)展注入新的活力。在數(shù)百年發(fā)展過(guò)程中，振動(dòng)力學(xué)已形成為以物理概念為基礎(chǔ)，以數(shù)學(xué)理論、計(jì)算方法和測(cè)試技術(shù)為工具，以解決工程中振動(dòng)問(wèn)題為主要目標(biāo)的力學(xué)分支。