一、概念

卵形曲線：是指在兩半徑不等的同向圓曲線間插入一段緩和曲線。也就是說：卵形曲線本身是緩和曲線的一段，只是在插入時去掉了靠近半徑無窮大方向的一段，而非是一條完整的緩和曲線。

二、卵形曲線坐標計算原理

根據已知的設計參數(shù)，求出包括卵形

 

曲線的完整緩和曲線的相關參數(shù)和曲線要素，再按緩和曲線坐標計算的方法來計算卵形曲線上任意點上的坐標。

三、坐標計算

以雅（安）至攀（枝花）高速公路A合同段（西昌西寧）立交區(qū)A匝道一卵形曲線為例，見圖一：

（圖一）

已知相關設計數(shù)據見下表：

 

1、緩和曲線（卵形曲線）參數(shù)計算

A1==59.161

卵形曲線參數(shù)：

A²=（HY₂-YH₁）×R₁（小半徑）×R₂（大半徑）÷（R₂-R₁）

=（271.881-223.715）×50×75÷（75-50）

= 7224.900

A2==84.999

A3==67.082

2．卵形曲線所在緩和曲線要素計算

卵形曲線長度L_F由已知條件知：L_F=HY2-YH1=271.881-223.715=48.166

卵形曲線作為緩和曲線的一段，因此先求出整條緩和曲線的長度L_S，由此找出HZ'點的樁號及坐標（實際上不存在，只是作為卵形曲線輔助計算用）

L_M=L_S（YH1至HZ'的弧長）=A²÷R1

=7224.900÷50=144.498

∴HZ'樁號=YH1+L_M=223.715+144.498=368.213

L_E=HY2至HZ'的弧長

=A²÷R2=7224.900÷75=96.332

或L_E= L_M-L_F=144.498-48.166=96.332

卵形曲線長度L_F=L_M-L_E=144.498-96.332=48.166（校核）

HY2=HZ'-L_E=368.213-96.332=271.881（校核）

由上說明計算正確

3．HZ'點坐標計算（見圖二）

（圖二）

①用緩和曲線切線支距公式計算，緩和曲線切線支距公式通式：

Xn=[(-1)ⁿ⁺¹×L^4n–3]÷[(2n-2)!×2^2n–2×(4n-3)×(RLs)^2n–2]

Yn=[(-1)ⁿ⁺¹×L^4n–1]÷[(2n-1)!×2^2n–1×(4n-1)×(RLs)^2n–1]

公式中符號含義：

n — 項數(shù)序號(1、2、3、……n)

！— 階乘

R — 圓曲線半徑

Ls — 緩和曲線長

②現(xiàn)取公式前6項計算（有關書籍中一般為2-3項，不能滿足小半徑的緩和曲線計算精度要求，如本例中AK0+090~AK0+160段緩和曲線，如AK0+160中樁坐標帶2項算誤差達8cm），公式如下：

X=L-L⁵÷[40（RL_S）²]+L⁹÷[3456（RL_S）⁴]–L¹³÷[599040（RL_S）⁶]+L¹⁷÷[175472640（RL_S）⁸]- L²¹÷[7.80337152×10¹⁰（RL_S）¹⁰] （公式1）

Y=L³÷[6（RL_S）] - L⁷÷[336（RL_S）³]+L¹¹÷[42240（RL_S）⁵] - L¹⁵÷[9676800（RL_S）⁷]+L¹⁹÷[3530096640（RL_S）⁹] - L²³÷[1.8802409472×10¹²（RL_S）¹¹] （公式2）

公式中L為計算點至ZH'或HZ'的弧長

HZ'：AK0+368.213的坐標從YH1：AK0+223.715推算，

L=L_S=HZ'-YH1

=368.213-223.715=144.498

將L=L_S 代入公式（1）、（2）得：

X=117.1072 Y=59.8839

L對應弦長C=√（X²+Y²）=131.5301

偏角a1=arctg（Y÷X）=27°05’00.2”

* 偏角計算用反正切公式，不要用其它公式。

緩和曲線切線角：

a2=90L²÷（πK）

=90×144.498²÷(π×7224.900)

=82°47’28.5”

* K為卵型曲線參數(shù)，本例中

K= A²=7224.900

Q3=180-a1-（180-a2）

=180-27°05’00.2”-（180-82°47’28.5”）

=55°42’28.3”

∴YH1"HZ’切線方位角（M"B）

=205°24’33.6” +Q3

=205°24’33.6”+55°42’28.3”

=261°07’01.9”

∴HZ’：AK0+368.213坐標：

X=X_YH1+Ccos261°07’01.9”

=9910.603+131.5301 cos261°07’01.9”=9890.293

Y=Y_YH1+Csin261°07’01.9”

=10136.791+131.5301 sin261°07’01.9”=10006.838

4．HZ’：AK0+368.213點的切線方位角（D"B）計算

D"B方位角：

=205°24’33.6”+Q2

=205°24’33.6”+82°47’28.5”

=288°12’02.1”

∴B"D切線方位角：
=288°12’02.1”-180

=108°12’02.1”

5．計算卵型曲線上任意點坐標(以HZ’:AK0+368.213作為推算起點)

①計算HY2:AK0+271.881的坐標

∵L= HZ’- HY2=368.213-271.881=96.332代入公式1、2得:X=92.434 Y=20.022

偏角Q= arctg（Y÷X）=12°13’19.61” 對應弦長C=√（X²+Y²）=94.578

坐標：

X=9890.293+94.578cos(108°12’02.1”-12°13’19.61”)

=9880.442

Y=10006.838+94.578sin(108°12’02.1”-12°13’19.61”)

=10100.902

②與設計值比較:

rX=X計算值-X設計值=9880.442-9880.438

=+0.004

rY=Y計算值-Y設計值=10100.902-10100.904

=-0.002 mm

同理依次可計算出卵型曲線上其它任意點的坐標。由此可見，采用此方法計算求得的坐標與設計院通過電腦程序計算的結果相差很小，本人多年來在高速公路多條卵型曲線采用此方法計算其坐標，其計算精確，完全可以作為包括高速公路在內的卵型曲線坐標計算。