§ 高斯投影坐標正反算公式
任何一種投影 ① 坐標對應關系是最主要的； ② 如果是正形投影，除了滿足正形投影的條件外（ C-R 偏微分方程），還有它本身的特殊條件。
1.1 高斯投影坐標正算公式： B,
x,y
高斯投影必須滿足以下三個條件 ：
① 中央子午線投影后為直線； ② 中央子午線投影后長度不變； ③ 投影具有正形性質(zhì)，即正形投影條件。
由第一條件知中央子午線東西兩側(cè)的投影必然對稱于中央子午線，即 (8-10) 式中， x 為 的偶函數(shù)， y 為 
的奇函數(shù)； 
，即 
，如展開為 的級數(shù)，收斂。
（ 8-33 ）
式中 
是待定系數(shù)，它們都是緯度 B 的函數(shù)。
由第三個條件知：
(8-33) 式分別對 和 q 求偏導數(shù)并代入上式
(8-34)
上兩式兩邊相等，其必要充分條件是同次冪 前的系數(shù)應相等，即
(8-35)
(8-35) 是一種遞推公式，只要確定了 
就可依次確定其余各系數(shù)。 
由第二條件知 : 位于中央子午線上的點，投影后的縱坐標 x 應等于投影前從赤道量至該點的子午線弧長 X ，即 (8-33) 式第一式中，當 
時有：
(8-36)
顧及 ( 對于中央子午線 )
得：
(8-37,38)
(8-39)
依次求得 
并代入 (8-33) 式，得到高斯投影正算公式
(8-42)
1.2 高斯投影坐標反算公式
x,y B,
投影方程：
(8-43)
滿足以下三個條件 ：
①x 坐標軸投影后為中央子午線是投影的對稱軸； ② x 坐標軸投影后長度不變； ③ 投影具有正形性質(zhì)，即正形投影條件。
高斯投影坐標反算公式推導要復雜些。
① 由 x 求底點緯度 ( 垂足緯度 )
, 對應的有底點處的等量緯度 
，求 x,y 與 
的關系式，仿照 (8-10) 式有，
由于 y 和橢球半徑相比較小 (1/16.37) ，可將 
展開為 y 的冪級數(shù)；又由于是對稱投影， q 必是 y 的偶函數(shù)， 必是 y 的奇函數(shù)。
(8-45)
是待定系數(shù)，它們都是 x 的函數(shù) .
由第三條件知：
，
， (8-21)
(8-45) 式分別對 x 和 y 求偏導數(shù)并代入上式
上式相等必要充分條件，是同次冪 y 前的系數(shù)相等，
第二條件，當 y=0 時，點在中央子午線上，即 x=X ，對應的點稱為底點，其緯度為底點緯度 ，也就是 x=X 時的子午線弧長所對應的緯度，設所對應的等量緯度為 。也就是在底點展開為 y 的冪級數(shù)。
由 (8-45)1 式
依次求得其它各系數(shù)
(8-51)
(8-51)1
…………
將 
代入 (8-45)1 式得
(8-55)1
(8-55)
將 
代入 (8-45)2 式得 (8-56)2 式。 ( 最后表達式 )
② 求 
與 
的關系。
由 (8-7) 式 
知：
(8-47)
(8-48)
按臺勞級數(shù)在 
展開
(8-49)
(8-50)
由 (8-7) 式可求出各階導數(shù)：
(8-53)
(8-54)1
(8-54)2
…………………
將式 (8-55)1,(8-55),(8-53),(8-54) 代入 (8-50) 式并按 y 冪集合得高斯投影坐標反算公式 (8-56)1,
(8-56)
歸納由 
求 
的基本思想 ：由點 
得到底點 
，將底點 f 作為過渡，也就是說將坐標原點 o 移到 f 點，先求 
關系式，再將 
關系式代入 
關系式得 
關系式，最后將坐標原點移回到 o 點 , 從而求得 
點。
1.3 高斯投影坐標正反算公式的幾何解釋
① 當 B=0 時 x=X=0 ， y 則隨 l 的變化而變化，這就是說，赤道投影為一直線且為 y 軸。當 l=0 時 , 則 y=0,x=X, 這就是說，中央子午線投影亦為直線，且為 x 軸，其長度與中央子午線長度相等。兩軸的交點為坐標原點。 ② 當 l= 常數(shù)時 ( 經(jīng)線 ), 隨著 B 值增加， x 值增大， y 值減小，這就告訴我們，經(jīng)線是凹向中央子午線的曲線，且收斂于兩極。又因 
，即當用 -B 代替 B 時， y 值不變，而 x 值數(shù)值相等符號相反，這就說明赤道是投影的對稱軸。 ③ 當 B= 常數(shù)時 ( 緯線 ) ，隨著的 l 增加， x 值和 y 值都增大，這就是說，緯線是凸向赤道的曲線。又當用 -l 代替 l 時， x 值不變，而 y 值數(shù)值相等符號相反，這就說明，中央子午線是投影對稱軸。由于滿足正形投影條件，所以經(jīng)線和緯線的投影是互相垂直的。 ④ 距中央子午線愈遠的子午線，投影后彎曲愈厲害，表明長度變形愈大。
