在公路中線坐標(biāo)計算中，我們通常采用切線支距公式來計算曲線上各點的坐標(biāo)。但當(dāng)在不同的曲線上計算時就需用不同的計算公式，這為計算也帶來不便。在設(shè)有緩和曲線的圓曲線半徑較小或是卵形曲線上的坐標(biāo)計算時，如公式選用不當(dāng)就會出現(xiàn)較大計算誤差，即便是能對切線支距公式進行多項展開，也會增加計算的難度。而用復(fù)化辛卜生公式不僅能解決不同曲線線型或直線上的坐標(biāo)計算問題，而且用復(fù)化辛卜生公式計算完全是可逆的（即：可順前進方向也可逆向計算），尤其在計算第二緩和曲線和卵形曲線時顯得尤為方便。

用辛卜生公式計算坐標(biāo)的精度可由人為或程序自行判斷，其計算結(jié)果完全能保證坐標(biāo)計算的精度要求。因此，可以說復(fù)化辛卜生公式是一個計算公路中線坐標(biāo)的萬能公式。下面本人就該公式在公路中線坐標(biāo)計算中的具體應(yīng)用進行實例解析。

一、復(fù)化辛卜生公式

式中：

H=（Z_i－Z_A）/n

(公式2)

(公式3)

Zi­­—待求點樁號

Z_A—曲線元起點樁號

Z_B—曲線元終點樁號

ρ_A—曲線元起點曲率

ρ_B—曲線元終點曲率

a _i曲線上任意一點處切線方位角的計算方法有以下三種方法：

1．利用公式（3）求得曲率代入公式（2）計算

2．利用曲線元上已知起點和終點曲率用內(nèi)插法求得曲率代入公式（2）計算

3．利用切線角公式計算

二、算例

例：已知雅（安）攀（枝花）高速公路西昌西寧立交A匝道一卵形曲線（卵形曲線相關(guān)參數(shù)見圖一，其計算略。），相關(guān)設(shè)計數(shù)據(jù)見下表�，F(xiàn)用辛卜生公式來計算卵形曲線中樁坐標(biāo)。

圖一

已知相關(guān)設(shè)計數(shù)據(jù)見下表：

主點   樁號	坐 標(biāo)   （m）		切線方位角   （θ）
	X	Y	° ’ ”
ZH   AK0+090	9987.403	10059.378	92 17 26.2
HY1   AK0+160	9968.981	10125.341	132 23 51.6
YH1   AK0+223.715	9910.603	10136.791	205 24 33.6
HY2   AK0+271.881	9880.438	10100.904	251 24 18.5
YH2   AK0+384.032	9922.316	10007.909	337 04 54.2
HZ   AK0+444.032	9981.363	10000.000	0 00 00

（一）由+271.881推算Zi=+223.715的坐標(biāo)，n取2等分

用公式(3)、公式（2）計算+247.798處曲線及方位角:

ρ_+247.798=1÷75+(1÷50-1÷75)(247.798-271.881) ÷(223.715-271.881)

=0.01666666666666667

a_+247.798=71°24’18.5” +(0.016666667+1÷75)(247.798-271.881)×180÷π÷2

=50°42’26.37”

其它各點依次代入公式計算，結(jié)果見下表:

曲率及切線方位角計算表

樁號	n等分點處曲線曲率		n等分點處   切線方位角 ° ’ ”	2n等分點處曲線曲率		2n等分點處   切線方位角 ° ’ ”
	公式(3)   計 算	內(nèi)插法   計 算		公式(3)   計 算	內(nèi)插法   計 算
+271.881	0.013333333=1/75		71 24 18.5
+259.840				0.015	0.015	61 37 52.2
+247.798	0.016666667	0.016666667	50 42 26.4
+235.757				0.018333333	0.0183333333	38 38 0.96
+223.715	0.02=1/50		25 24 36

切線方位角圖示1

將計算出的數(shù)據(jù)代入公式（1）求得+223.715中樁坐標(biāo)如下：

X=9880.438+(271.881-223.715)÷2÷6×(cos71°24’18.5”+4(cos61°37’52.22”+cos38°38’0.96”)

+2cos50°42’26.37”+ cos25°24’35.99”)

=9910.5975 (設(shè)計值：9910.603)

Y=10100.904+(223.715-271.881)÷2÷6×(sin71°24’18.5”+4(sin61°37’52.22”+sin38°38’0.96”)

+2sin50°42’26.37”+ sin25°24’35.99”)

=10136.7945 (設(shè)計值：10136.791)

（二）由+223.715推算Zi=+271.881的坐標(biāo)，n取2等分

用公式(3)計算+247.798處曲線及方位角:

ρ_+247.798=1÷50+(1÷75-1÷50)(247.798-223.715)÷(271.881-223.715)

=.01666666666666667

a_+247.798=205°24’33.6”+ (0.016666667+1÷50)(247.798-223.715)×180÷π÷2

=230°42’23.98”

其它各點依次代入公式計算，結(jié)果見下表:

曲率及切線方位角計算表

樁號	n等分點處曲線曲率		n等分點處   切線方位角 ° ’ ”	2n等分點處曲線曲率		2n等分點處   切線方位角 ° ’ ”
	公式(3)   計 算	內(nèi)插法   計 算		公式(3)   計 算	內(nèi)插法   計 算
+223.715	0.02=1/50		205 24 33.6
+235.757				0.018333333	0.0183333333	218 37 58.6
+247.798	0.016666666	0.016666666	230 42 24.0
+259.840				0.015	0.015	241 37 49.8
+271.881	0.013333333=1/75		251 24 18.5

切線方位角圖示2

X=9910.603+(271.881-223.715)÷2÷6×(cos205°24’33.6”+4(cos218°37’58.87”+cos241°37’49.83”)

+2cos230°42’23.98”+ cos251°24’16.11”)

=9880.4431 (設(shè)計值：9880.438)

Y=10136.791+(271.881-223.715)÷2÷6×(sin205°24’33.6”+4(sin218°37’58.87”+sin241°37’49.83”)

+2sin230°42’23.98”+ sin251°24’16.11”)

=10100.9008 (設(shè)計值：10100.904)

由上可知，利用復(fù)化辛卜生公式計算路線坐標(biāo)時可順向或逆向計算。

（三）前面正、反向的計算均是從卵形曲線的部分推算的，現(xiàn)在我們從卵形曲線所在完整緩和曲線的起點HZ’=+368.213點來推算終點+223.715和中間點+271.881.

a_i=a_A-90L²÷(πRL_S)公式(4)

1.計算Zi=+223.715中樁坐標(biāo)

曲線元上等分點曲率及切線方位角計算表(n取4等分)

切線方位角圖示3

X=9890.293+(368.213-223.715)÷4÷6×(cos108°12’02.1”+4(cos106°54’25.22”+cos96°33’28.64”

+ cos75°51’37.54”+ cos44°48’47.8”)+2(cos103°01’34.58”+ cos87°30’9.97” +cos61°37’51.35”)

+ cos25°24’33.58”)

=9910.5963 (設(shè)計值：9910.603)

Y=10006.838+ (368.213-223.715)÷4÷6×(sin108°12’02.1”+4(sin106°54’25.22”+sin96°33’28.64”

+ sin75°51’37.54”+ sin44°48’47.8”)+2(sin103°01’34.58”+ sin87°30’9.97” +sin61°37’51.35”)

+ sin25°24’33.58”)

=10136.7925 (設(shè)計值：10136.791)

2.計算zi=+271.881中樁坐標(biāo)

曲線元上等分點曲率及切線方位角計算表(n取4等分)

樁號	n等分點處   曲線曲率	n等分點處   切線方位角 ° ’ ”		2n等分點處曲線曲率	2n等分點處   切線方位角 ° ’ ”
	內(nèi)插法   計 算	公式(2)計算	公式(4)計算	內(nèi)插法   計 算	公式(2)計算	公式(4)計算
+368.213	0	108 12 02.1
+356.172				0.001666667		107 37 32.49
+344.130	0.003333333		105 54 02.97
+332.089				0.005		103 01 34.58
+320.047	0.006666667		99 00 05.6
+308.006				0.008333333		93 49 38.42
+295.964	0.01		87 30 09.97
+283.923				0.011666667		80 01 44.02
+271.881	0.013333333=1/75		71 24 16.09
+223.715	0.02=1/50	25 24 33.58	25 24 33.58

切線方位角圖示4

X=9890.293+(368.213-271.881)÷4÷6×(cos108°12’2.1”+4(cos107°37’32.49”+cos103°01’34.58”

+ cos93°49’38.42”+ cos80°01’44.02”)+2(cos105°54’02..97”+ cos99°00’05.6” +cos87°30’09.97”)

+ cos71°24’16.09”)

=9880.4416 (設(shè)計值：9880.438)

Y=10006.838+ (368.213-271.881)÷4÷6×(sin108°12’2.1”+4(sin107°37’32.49”+sin103°01’34.58”

+ sin93°49’38.42”+ sin80°01’44.02”)+2(sin105°54’02.97”+ sin99°00’05.6” +sin87°30’09.97”)

+ sin71°24’16.09”)

=10100.9008 (設(shè)計值：10100.904)

由此我們不難看出，利用復(fù)化辛卜生公式計算公路中樁坐標(biāo)不僅順逆向很方便，而且可從中任取一段進行計算。而計算中的關(guān)鍵是計算各等分點處的切線方位角，同時應(yīng)分清n與2n等分點，注意不要混淆。對于n的取值，從上我們可以看出：對一般緩和曲線取2-3即可，對卵形曲線視推算基準(zhǔn)點而言不少于4。

其它如圓曲線、直線等中樁坐標(biāo)的計算方法是一樣的，在此就不一一簡述。

樁 號	n等分點處   曲線曲率		n等分點處   切線方位角 ° ’ ”		2n等分點處曲線曲率		2n等分點處   切線方位角 ° ’ ”
	公式(3)   計 算	內(nèi)插法   計 算	公式(2)計算	公式(4)計算	公式(3)   計 算	內(nèi)插法   計 算	公式(2)計算	公式(4)計算
+368.213	0		108 12 02.1
+350.151					0.0025	0.0025	106 54 25.16	106 54 25.22
+332.089	0.005	0.005	103 01 34.33	103 01 34.58
+314.026					0.0075	0.0075	96 33 28.83	96 33 28.64
+295.964	0.01	0.01	87 30 09.97	87 30 9.97
+277.902					0.0125	0.0125	75 51 37.22	75 51 37.54
+259.840	0.015	0.015	61 37 50.58	61 37 51.35
+241.777					0.0175	0.0175	44 48 48.25	44 48 47.8
+223.715	0.02=1/50		25 24 33.58	25 24 33.58